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S1??2?y1?y?2dx??2?x?1?1?11221dx4(x?1)???而由曲线段y?21214x?3dx????(4x?3)343221
??6(55?1).1x(0?x?2)绕x轴的旋转面面积 22200S2??2?y1?y?2dx??2???22x11?dx24551??xdx???x2?5?.02220
由此,旋转体的表面积为
S?S1?S2??6(115?1).
十、(本题满分8分)
【解析】由题设及曲率公式,有
?y???1?y??322?1?1?y??122
(因曲线y?y(x)向上凸,y???0,y????y??),化简得
y????1. 21?y?改写为
dy???dx, 2?1?y两边积分得
dy??1?y?2???dx,
解得 arctany???x?C1.
由题设,曲线上点(0,1)处的切线方程为y?1?x,可知y(0)?1,y?(0)?1.
??.于是有arctany???x?,故有 44??3?y??tan(?x),??x?.
444?3?(上式中注明区间是??x?的原因：本题中使正切函数有意义的区间有很多,一般可
44?3??3??2n?,本题选择??x?以写成??2n??x?是因为题设曲线在x?0处有值,
4444以x?0代入上式,得C1?
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又已知曲线是一条连续曲线,因此解的范围应该包含x?0在内并且使y(x)连续的一个区间.) 再积分得
sin(?x)?4y??tan(?x)dx??dx?4cos(?x) 41????dcos(?x)?lncos(?x)?C2.?44cos(?x)4?1又由题设可知y(0)?1,代入确定C2?1?lncos?1?ln2,于是所求的曲线方程为
42?1?3????y?lncos??x??1?ln2,??x?.
244?4?由于cos????????x??1,且lnx在定义域内是增函数,所以当且仅当cos??x??1时,?4??4?即x?
?4
时y取得最大值,由于
???3?????,?,所以此时也是y取极大值,极大值为4?44?1?3?y?1?ln2；显然y在??x?没有极小值.
244【相关知识点】曲线y?y(x)在其上任意一点(x,y)处的曲率公式：k?y???1?y??322.
十一、(本题满分8分) 【分析】不等式的证明一般用单调性来证明,除此之外,还可以用拉格朗日中值公式、拉格朗日余项泰勒公式、最大(小)值来证明. 【解析】(1)方法1：利用单调性证明.
令?(x)?x?(1?x)ln(1?x),则
22??(x)?2x?ln2(1?x)?2ln(1?x),2 ?x?ln(1?x)?,1?x2ln(1?x)????(x)??0(0?x?1).2(1?x)???(x)?????(x)在(0,1)内单调递增,???(x)????(0)?0(0?x?1)；
???(x)在(0,1)内单调递增,??(x)???(0)?0(0?x?1)；
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??(x)在(0,1)内单调递增,?(x)??(0)?0(0?x?1),
即(1?x)ln2(1?x)?x2.
方法2：改写原不等式,当x?(0,1)时,1?x?0,故可在不等式两边同时除以(1?x),有
x2ln(1?x)?,
1?x2两边开平方, ln(1?x)?x. 1?x令g(x)?ln(1?x)?x, 1?xx121?xg?(x)??1?x1?x21?x?2?xx?1?21?x?1 ???332?1?x?22?1?x?21?x????1?x?12?1?x?32?2?0,(当x?0)故函数g(x)在区间[0,1]上单调减少,由g(0)?0,可知当x?0时,g(x)?g(0)?0,即
ln(1?x)?x,从而原不等式成立,证毕. 1?x22方法3：由方法1,?(x)?x?(1?x)ln(1?x),已证?(0)?0,??(0)?0,???(x)?0,(x?0)
于是由?(x)的1阶麦克劳林公式(拉格朗日余项)有
?(x)??(0)???(0)x?即(1?x)ln(1?x)?x,证毕. (2)令f(x)?2211???(?)x2????(?)x2?0. 2!211x?ln(1?x)??,
ln(1?x)xxln(1?x)11(1?x)ln2(1?x)?x2, f?(x)???2?222(1?x)ln(1?x)xx(1?x)ln(1?x)
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?由(1),f?(x)?0(0?x?1)?f(x)在(0,1)单调减?f(1)?f(x)?f(0)(0?x?1),而
f(1)?1?1,且 ln2f(0?)?limf(x)?lim??x?0x?0x?ln(1?x)x?ln(1?x) 等lim2?x?0xln(1?x)x1?1111?x?lim?, ?x?02x2(1?x)2洛lim?x?0故
111111?1?f(x)?,即?1???.证毕. ln22ln2ln(1?x)x2
十二、(本题满分5分)
【解析】由矩阵运算法则,将等式(2E?C?1B)AT?C?1两边左乘C,得
C(2E?C?1B)AT?CC?1,即(2C?B)AT?E.
对上式两端取转置,有A(2CT?BT)?E.
由可逆矩阵及逆矩阵的定义,可知矩阵2CT?BT,A均可逆,因为A是4阶方阵,故
?1?2A?(2CT?BT)?1???3??4
十三、(本题满分8分)
【分析】?能由(不能由)?1,?2,性方程组?1x1??2x2?的情况的判定与求解.
000??100??210100?????1?21210???321??01?2?10?0??. 0??1?,?s线性表出??i,i?1,2,s,?为列向量的非齐次线
??sxs??有解(无解),从而将线性表出的问题转化为方程组解
T【解析】令A???1,?2,?3?,X??x1,x2,x3?,作方程组AX??,并对此方程组的增广矩阵进行初等变换：
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?1?4?A?????0??227133??120?0?1110??(?1)??01?1?1b???a4??0?1a203??11?2??.0a?10??00b?2?013??2??b???2?
?1?0(?2)??0??0其中,(?1)变换：将第1行乘以-4加到第2行,再将第1行乘以-2加到第4行；
(?2)变换：第2行加到第1行,再将第2行乘以-1加到第4行,最后3,4行互换.
由非齐次线性方程组有解的判定定理,可得
(1)当b?2时,线性方程组AX??无解,此时?不能由?1,?2,?3线性表出. (2)当b?2,a?1时,r(A)?r(A)?3,线性方程组AX??有唯一解,下面求此唯一解.
由以上增广矩阵变换可得线性方程组AX??的同解方程组为
?x1?2x2?3???x2?x3??2, ?(a?1)x?03?解得唯一解为X???1,2,0?.故?能由?1,?2,?3线性表出为????1?2?2.
(3)当b?2,a?1时,r(A)?r(A)?2?3,线性方程组AX??有无穷多解.求齐次线性方程组AX?0的基础解系.
齐次线性方程组AX?0的同解方程组为
T?x1?2x2?0, ??x?x?0?23基础解系所含向量的个数为n?r(A)?3?2?1,选x2为自由未知量,取x2?1,解得基础解系为??(?2,1,1).取x3?0,解得的一个特解为??(?1,2,0),则由非齐次线性方程组解的结构可知,方程组AX??的通解为
T?TX?k???????2k?1,k?2,k?,k是任意常数.
T 20
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则?能由?1,?2,?3线性表出,且表示法为无穷多(常数k可以任意),且
???(2k?1)?1?(k?2)?2?k?3.
【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A是m?n矩阵,方程组Ax?b,则(1)有唯一解?r(A)?r(A)?n. (2)有无穷多解?r(A)?r(A)?n.
(3)无解?r(A)?1?r(A).?b不能由A的列向量线性表出.
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