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dx1dx2112222?22tf(x?t)dt?f(u)du?f(x)?x?f(x)?2x?xf(x). ????00dx2dx22【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若F(t)?阶可导,则
???(t)(t)f(x)dx,?(t),?(t)均一
F?(t)???(t)?f??(t)????(t)?f??(t)?.
(5)【答案】y?x?1 e?【解析】题中未说什么渐近线,所以三类渐近线都要考虑.
1?1?由曲线方程y?xln(e?)知,铅直渐近线可能在两处：x????及x?0,但题设
x?e??1?x?0,所以x????不予考虑,考虑x?0?的情况.当x?0?时,
?e?1ln(e?t)1limxln(e?)??x?1t?lim?洛?lim?0??,
t???t???e?tx?0?xt所以无铅直渐近线；
因 limy(x)?limxln(e?)?limxlne???,
x???x???x????1x故无水平渐近线.
再考虑斜渐近线:
x???limy1?limln(e?)?1, xx???x11????lim?y?x??limx?ln(e?)?1??limx?lne?ln(1?)?1?x???x???xex??x?????
111?limxln(1?)?limx??,x???exx???exe(x???时,ln(1?1)ex1) ex1. ex?x0所以有斜渐近线y?x?【相关知识点】1.铅直渐近线：如函数y?f(x)在其间断点x?x0处有limf(x)??,则
x?x0是函数的一条铅直渐近线；
水平渐近线：当limf(x)?a,(a为常数）,则y?a为函数的水平渐近线.
x??斜渐近线：若有a?limx??f(x),b?lim[f(x)?ax]存在且不为?,则y?ax?b为斜渐近线. x??x
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题
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目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)【答案】(D)
【解析】方法1:直接利用无穷小量的性质可以证明(D)是正确的.
由yn?(xnyn)?穷小,应选(D). 方法2:排除法.
(A)的反例:xn?n,yn?不发散；
(B)的反例:xn??11及limxnyn?0,lim?0可知yn为两个无穷小之积,故yn亦为无n??n??xnxn111,limxy?limn??lim?0满足题设,但limyn?0nnn??n??n2n??n2n??n?2k?1,n?2k?1,?0,n?2k?1,yn??k?1,2,n?2k,n?2k,?0,?2k,,
满足limxnyn?0,但yn不是有界数列；
n??(C)的反例:xn:1,,,11231,,n有界数列,yn?1(n?1,2,),满足
limxnyn?limn??1?0,但yn不是无穷小； n??n排除掉(A)、(B)、(C),故选(D). (2)【答案】(B)
【解析】当函数中出现绝对值号时,就有可能出现不可导的“尖点”,因为这时的函数是
22分段函数.f(x)?(x?x?2)xx?1,当x?0,?1时f(x)可导,因而只需在x?0,?1处
考察f(x)是否可导.在这些点我们分别考察其左、右导数.
?(x2?x?2)x(1?x2),?22?(x?x?2)x(x?1),由 f(x)??22(x?x?2)x(1?x),?22??(x?x?2)x(x?1),x??1,?1?x?0,0?x?1,1?x, f?x??f??1?(x2?x?2)x(1?x2)?0?lim??0, ? f??(?1)?lim?x??1x??1x?1x?1f?x??f??1?(x2?x?2)x(1?x2)?0f??(?1)?lim??lim??0,
x??1x??1x?1x?1即f(x)在x??1处可导.又
f?x??f?0?(x2?x?2)x(x2?1)?0f??(0)?lim?lim?2,
x?0?x?0?xx 7
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f?x??f?0?(x2?x?2)x(1?x2)?0f??(0)?lim?lim??2,
x?0?x?0?xx所以f(x)在x?0处不可导.
类似,函数f(x)在x?1处亦不可导.因此f(x)只有2个不可导点,故应选(B). 评注：本题也可利用下列结论进行判断：
设函数f(x)?x?a?(x),其中?(x)在x?a处连续,则f(x)在x?a处可导的充要条件是?(a)?0. (3)【答案】(A) 【解析】由?y?y?x?yy???,??. 有221?x?x1?x?x令?x?0,得?是?x的高阶无穷小,则lim??x?x?0?0,
?yy?y???y?lim?lim??lim????x?01?x2?x?0?x1?x2 ?x?0?x?x?01?x2?x??lim即
dyy?. 2dx1?x分离变量,得
dydx?, 2y1?x两边积分,得 lny?arctanx?C,即y?C1earctanx. 代入初始条件y(0)??,得y?0??C1e故 y(1)??earctanxarctan0?C1??.所以,y??earctanx.
???ex?1arctan1??e4.
【相关知识点】无穷小的比较：
设在同一个极限过程中,?(x),?(x)为无穷小且存在极限 lim(1) 若l?0,称?(x),?(x)在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若l?1,称?(x),?(x)在该极限过程中为等价无穷小,记为?(x)?(x)?l, ?(x)?(x)；
(3) 若l?0,称在该极限过程中?(x)是?(x)的高阶无穷小,记为?(x)?o??(x)?. 若lim?(x)不存在(不为?),称?(x),?(x)不可比较. ?(x)8
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(4)【答案】(C)
【解析】由x?a是f(x)的极大点,知存在??0,当x??a??,a???时,f(x)?f(a),即f(x)?f(a)?0.因此,
当x??a??,a?时,(x?a)?f(x)?f(a)??0; 当x??a,a???时,(x?a)?f(x)?f(a)??0. 所以,(A)与(B)都不正确.
已知f(x)在x?a处连续,由函数在一点连续的定义可知,limf(x)?f(a),再由极限
x?a四则运算法则可得
limt?af(t)?f(x)f(a)?f(x)??0(x?a).
(t?x)2(a?x)2应选(C).
(5)【答案】(B) 【解析】对任何n阶矩阵都要成立的关系式,对特殊的n阶矩阵自然也要成立.那么,当A可逆时,由A?AA,有
??1(kA)??kA(kA)?1?knA?故应选(B).
1?1A?kn?1AA?1?kn?1A?. k一般地,若A?(aij)n?n,有kA?(kaij)n?n,那么矩阵kA的第i行j列元素的代数余子式为
ka11(?1)i?jkai?1,1kai?1,1kan1a11i?jn?1ka1,j?1kai?1,j?1kai?1,j?1kan,j?1a1,j?1ai?1,j?1ai?1,j?1an,j?1ka1,j?1kai?1,j?1kai?1,j?1kan,j?1a1,j?1ai?1,j?1ai?1,j?1an,j?1ka1nkai?1,nkai?1,nkanna1nai?1,nai?1,nannn?1
?(?1)kai?1,1ai?1,1an1,即kA中每个元素的代数余子式恰好是A相应元素的代数余子式的k
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倍,因而,按伴随矩
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阵的定义知(kA)*的元素是A对应元素的k*
n?1倍.
【相关知识点】1.行列式的性质：若A是n阶矩阵,则kA?knA. 2.矩阵A可逆的充要条件是A?0,且A?1?1?A. A
三、(本题满分5分) 【分析】由间断点的定义可知,函数无定义的点一定是间断点,故可以先找出函数无定义的点,再讨论判断出间断点的类型.
【解析】f(x)在区间(0,2?)内的间断点为
1tan(x?)4?无定义的点,即x??3?5?7?4,4,4,4各点.
在x?
?4
处,lim?f(x)???；在x?x??45??5?处,lim?f(x)???,故x?,为f(x)5?444x?4的第二类间断点；
在x?3?7?处,limf(x)?1；在x?处,limf(x)?1,但相应的函数值在该点无定
3?7?44x?x?44义,故f(x)在x?3?7?,处为可去间断点. 44【相关知识点】设limf(x)?A,limg(x)???,则limf(x)g(x)??x?ax?ax?a?0,0?A?1.
???,A?12.函数f(x)的间断点或者不连续点的定义：设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义,只要满足一下三种情况之一即是间断点. (1) 在x?x0没有定义；
(2) 虽在x?x0有定义,但limf(x)不存在；
x?x0(3) 虽在x?x0有定义,且limf(x)存在,但limf(x)?f(x0);
x?x0x?x0??3.通常把间断点分成两类：如果x0是函数f(x)的间断点,但左极限f(x0)及右极限f(x0)都存在,那么x0称为函数f(x)的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点,称为第二类间断点.
四、(本题满分5分)
【分析】解决这类问题,原则上与求极限差不多,但是因为其中含有某些参数,比如在用洛必
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