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达法则前,极限是否为“
0?”型或“”型,要先行讨论,通过讨论,有时就可以推断出其中0?参数的特点,然后再求极限,这是一类常考的题目. 【解析】当x?0时ax?sinx?0,又由题设limax?sinx?c(c?0),所以应有
x?0xln(1?t3)?btdtlim?xx?0bln(1?t3)dt?0(否则与limx?0tax?sinx?c(c?0)矛盾),从而只有b?0,因此3xln(1?t)?btdtlimx?0ax?sinx满足洛必达法则的条件,用洛必达法则求其极限. 3xln(1?t)?btdtax?sinx洛a?cosx等a?cosx0?c?lim?lim?lim. 3x?0x?0ln(1?x3)x?0xln(1?t)x2?btdtx(当x?0时,ln(1?x)?x)
如果a?1,则右边极限为?,与原设左边矛盾,故a?1,于是上述等式成为
1?cosx等112x?00?c?lim?.1?cosx?x) (当时,
x?0x2221所以最后得a?1,b?0,c?．
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五、(本题满分5分) 【解析】方法１：由y?u?usecx,有 cosx
y??u?secx?usecxtanx,y???u??secx?2u?secxtanx?u(secxtan2x?sec3x),代入原方程y??cosx?2y?sinx?3ycosx?e,得
xu???4u?ex. (*)
先求其相应齐次方程的通解,由于其特征方程为??4?0,则特征方程的根为
2???2i.所以通解为 u(x)?C1cos2x?C2sin2x,(C1,C2为任意常数).
再求非齐次方程的特解,特解应具有形式u(x)?Ae,代入(*)式,得
?x 11
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?Ae????4Aexx?Aex?4Aex?5Aex?ex
解得,A?
11x?,因此u(x)?e. 551u(x)?C1cos2x?C2sin2x?ex,(C1,C2为任意常数).
5故(*)的通解为
所以,原微分方程的通解为
cos2xexy?C1?2C2sinx?.
cosx5cosx方法２：由y?u有u?ycosx,于是 cosxu??y?cosx?ysinx,
u???y??cosx?2y?sinx?ycosx,原方程化为u???4u?e(以下与方法１相同)． 【相关知识点】两函数乘积的求导公式：
x?f(x)?g(x)???f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x).
六、(本题满分6分)
【解析】当x?1时,被积函数的极限limx?11x?x2??,即x?1是被积函数的无穷间断点,
故所给的是广义积分.
?x?x2,0?x?1, x?x?x(1?x)??2?x?x,x?0或x?1.2?3212dxx?x2??1??11dxx?x2dx21??321dxx2?x??321211?(x?)242112dx11(x?)2?24?
?arcsin(2x?1)?ln(sect?tant)03?其中,
?2?ln(2?3). 12
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?1dx11?(x?)24212??11dx111?4(x?)222112dxd(2x?1)??1??1 2221?(2x?1)21?(2x?1)2?arcsin(2x?1)121求
?321dx：
11(x?)2?24113?111?sect,x:1?,则t:0?,dx?d(?sect)?secttantdt, 2223222111111(x?)2??(sect)2??sec2t?1?tant,
224242321设x?于是,
?dx??30121(x?)?24?1secttantdtdx??233. ??sectdt?ln(sect?tant)001tant2
七、(本题满分6分)
【解析】先建立坐标系,取沉放点为原点O,铅直向下作为Oy轴正向,探测器在下沉过程中受重力、浮力和阻力的作用,其中重力大小：mg,浮力的大小：F浮???B；阻力：?kv,则由牛顿第二定律得
d2ym2?mg?B?g?kv,ydtt?0?0,vt?0?0. (*)
dyd2ydvdvdydvdy由,代入(*)得y与v之间的微分方程 ?v,2????v?vdvdtdtdtdydtdy?dy?mv???mg?B??kv,?dv?分离变量得 dy??1vy?0?0.
mvdv,
mg?B??kvmv?mg?B??kvdv,
两边积分得 dy?? 13
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Bm?m2gBm?m2gmv????kkkkdvy??mg?B??kvmBm?m2g?(mg?B??kv)??kkdv??kmg?B??kv?mg?Bm???m?k??????dv?kmg?B??kv?????mm(mg?B?)???dv??dvkk(mg?B??kv)2
1m(mg?B?)?(?)mkd(mg?B??kv) (第一类换元法) ??v??kk(mg?B??kv) ??mm(mg?B?)v?ln(mg?B??kv)?C. kk2
再根据初始条件v|y?0?0,即
?m(mg?B?)m(mg?B?)ln(mg?B?)?C?0?C?ln(mg?B?).
k2k2故所求y与v函数关系为
y??m?mg?B???mg?B??kv?mv?ln??. 2kk?mg?B??
八、(本题满分8分)
【解析】(1)要证?x0?(0,1),使x0f(x0)??1x0f(x)dx；令?(x)?xf(x)??f(t)dt,要证
xx01?x0?(0,1),使?(x0)?0.可以对?(x)的原函数?(x)???(t)dt使用罗尔定理：
?(0)?0,
?(1)???(x)dx??xf(x)dx??(?f(t)dt)dx000x分部1111 x?11?1???xf(x)dx??x?f(t)dt??xf(x)dx??0,00x?0?x?1又由f(x)在[0,1]连续??(x)在[0,1]连续,?(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导.根据罗尔定
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理,?x0?(0,1),使??(x0)??(x0)?0.
(2) 由??(x)?xf?(x)?f(x)?f(x)?xf?(x)?2f(x)?0,知?(x)在(0,1)内单调增,故(1)中的x0是唯一的.
评注：若直接对?(x)使用零点定理,会遇到麻烦：
?(0)???f(t)dt?0,?(1)?f(1)?0.
01当f(x)?0时,对任何的x0?(0,1)结论都成立；
当f(x)?0时,?(0)?0,但?(1)?0,若?(1)?0,则难以说明在(0,1)内存在x0.当直接对?(x)用零点定理遇到麻烦时,不妨对?(x)的原函数使用罗尔定理. 【相关知识点】1.罗尔定理：如果函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导；
(3) 在区间端点处的函数值相等,即f(a)?f(b), 那么在(a,b)内至少有一点?(a???b),使得f?(?)?0.
九、(本题满分8分)
【解析】先求切线方程：(x0,y0)处的切线为
y (2,1) y?y0?1(x?x0). 2y01 以x?0,y?0代入切线方程,解得x0?2,y0?切线方程为y?x0?1?1, O 1 2 x 1x.(见右图) 2由曲线段y?x?1(1?x?2)绕x轴的旋转面面积
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