已知n = 4时的相关数据如下： Si S1 S2 S3 S4 ri(%) 28 21 23 25 qi(%) 2.5 1.5 5.5 2.6 pi(%) 1 2 4.5 6.5 ui(元) 103 198 52 40 试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。 五、模型的假设与符号说明 5.1模型的假设： （1）在短时期内所给出的平均收益率,损失率和交易的费率不变。 （2）在短时期内所购买的各种资产（如股票，证券等）不进行买卖交易。即在买入后就不再卖出。 （3）每种投资是否收益是相互独立的。 （4）在投资的过程中，无论盈利与否必须先付交易费。 5.2符号说明： 参数 Si M xi ri qi pi ui Ei s 范围 i=1,2…n 相当大 i=1,2…n i=1,2…n i=1,2…n i=1,2…n i=1,2…n i=1,2…n 0.1~1 说明 欲购买的第i种资产的种类 公司现有的投资总额 公司购买Si的金额 公司购买Si的平均收益率 公司购买Si的平均损失率 公司购买Si超过ui时所付的交易费 xi 6 2．购买Si所付交易费是一个分段函数,即 pixi xi>ui 交易费 = piui xi≤ui 而题目所给定的定值ui(单位:元)相对总投资M很小, piui更小, 可以忽略不计,这样购买Si的净收益为(ri-pi)xi 3．要使净收益尽可能大，总体风险尽可能小,这是一个多目标规划模型: 目标函数 max i?0?(r?p)xiini minmax{ qixi} 约束条件 ?(1?p)xii?0ni=M xi≥0 i=0,1,?,n 4. 模型简化 a． 在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，若给定风险一个界限a，使最大的一个 风险qixi/M≤a，可找到相应的投资方案. 这样把多目标规划变成一个目标的线性规划. 模型1 固定风险水平，优化收益 目标函数： Q=max i?1qixi?(r?p)xiin?1i 约束条件： M≤a 7 ?(1?p)xii?M， xi≥ 0 i=0,1,?, n b．若投资者希望总盈利至少达到水平k以上，在风险最小的情况下寻找相应的投资组合. 模型2 固定盈利水平，极小化风险 目标函数： R= min{max{ qixi}} 约束条件： ?(ri?0ni?pi)xi≥k， ?(1?pi)xi?M ， xi≥ 0 i=0，1，?，n c．投资者在权衡资产风险和预期收益两方面时，希望选择一个令自己满意的投资组合. 因此对风险、收益赋予权重s（0＜s≤1)，s称为投资偏好系数. 模型3 目标函数：min s{max{qixi}} -（1-s）?(r?p)xiii?0ni 约束条件 ?(1?p)xii?0ni=M， xi≥0 i= 0,1,2，?，n 七、模型求解 7.1模型1的求解 模型1为: minf = (-0.05, -0.27, -0.19, -0.185, -0.185) (x0 x1 x2 x3 x 4 ) T x0 + 1.01x1 + 1.02x2 +1.045x3 +1.065x4 =1 0.025x1 ≤a 0.015x2 ≤a s.t. 0.055x3 ≤a 0.026x4 ≤a xi ≥0 (i = 0，1，?，4) 8 由于a是任意给定的风险度，到底怎样给定没有一个准则，不同的投资者有不同的风险度.我们从a=0开始，以步长△a=0.001进行循环搜索，编制程序如下： a=0; while(1.1-a)>1 c=[-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185]; Aeq=[1 1.01 1.02 1.045 1.065]; beq=[1]; A=[0 0.025 0 0 0;0 0 0.015 0 0;0 0 0 0.055 0;0 0 0 0 0.026]; b=[a;a;a;a]; vlb=[0,0,0,0,0]; vub=[]; [x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub); a x=x' Q=-val plot(a,Q,'.')，axis([0 0.1 0 0.5])，hold on a=a+0.001; end xlabel('a'),ylabel('Q') 计算结果： a = 0.0030 x = 0.4949 0.1200 0.2000 0.0545 0.1154 Q = 0.1266 a = 0.0060 x = 0 0.2400 0.4000 0.1091 0.2212 Q = 0.2019 a = 0.0080 x = 0.0000 0.3200 0.5333 0.1271 0.0000 Q = 0.2112 a = 0.0100 x = 0 0.4000 0.5843 0 0 Q =0.2190 a = 0.0200 x = 0 0.8000 0.1882 0 0 Q =0.2518 a = 0.0400 x = 0.0000 0.9901 0.0000 0 0 Q =0.2673 9 结果分析 1.风险大，收益也大. 2.当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致.即: 冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资. 3.曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益要求的最小风险.对于不同风险的承受能力，选择该风险水平下的最优投资组合. 4.在a=0.006附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很少时，利润增长 很快.在这一点右边，风险增加很大时，利润增长很缓慢，所以对于风险和 收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的拐点作为最优投资组合， 大约是a*=0.6%，Q*=20% ，所对应投资方案为: 风险度 收益 x0 x1 x2 x3 x4 0.0060 0.2019 0 0.2400 0.4000 0.1091 10