0.2212 7.2模型2的求解 令x5= max{qixi}则有x5大于或等于{qixi}中的任意一个，可得模型2为： min f=x5 ?x0?1.01x1?1.02x2?1.045x3?1.065x4?1?0.05x?0.27x?0.19x?0.185x?0.185x?k01234??.............0.025x1.................................................?x5?0?s.t.?..........................0.015x2....................................?x5?0 ?.........................................0.055x3.....................?x5?0??.........................................................0.026x4.....?x5?0??xi?0xi ≥0 (i = 0，1，?，4) 由于k是任意给定的收益，到底怎样给定没有一个准则，不同的投资者有不同的收益.我们从k=0开始，以步长△k=0.002进行循环搜索，编制程序如下： k=0; while k<0.5 c=[0 0 0 0 0 1]; Aeq=[1 1.01 1.02 1.045 1.065 0]; beq=[1]; A=[-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185 0; 0 0.025 0 0 0 -1;0 0 0.015 0 0 -1; 0 0 0 0.055 0 -1;0 0 0 0 0.026 -1]; b=[-k;0;0;0;0]; vlb=[0,0,0,0,0,0]; vub=[]; [x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub); k x=x' R=val plot(k,R,'.') axis([0 0.25 0 0.015]) hold on k=k+0.002; end 11
xlabel('k'),ylabel('R'); 计算结果： k 0.2000 0.2020 0.2040 0.0206 0.0208 R 0.0059 0.0060 0.0064 0.0069 0.0073 x0 0.0107 0.0000 0.0000 0.0000 x1 0.2350 x2 x3 x4 0.2260 0.2189 0.1680 0.1171 0.0662 0.3917 0.1068 0.1094 0.1172 0.1249 0.1327 0.4297 0.4581 0.4864 0.2408 0.4013 0.2748 0.2919 0.0000 0.2578 结果分析： 有实验结果和图可得以下结论： 1 收益越大，风险也越大。 2当投资越分散时，投资者承担的风险越小 3曲线上任意一点都表示该投资下的最小风险，选择该投资下的最优组合。 4在k=0.206附近有一个转折点，在它的右边，风险随投资的变化明显比左边的快得多，所以对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的拐点作为最优投资组合， 12
大约是R*=0.6%，k*=20% ，所对应投资方案为: 收益 0.2060 风险度 0.0069 x0 x1 x2 0.4581 x3 0.1249 x4 0.1171 0.0000 0.2748 7.3模型3的求解 令x5= max{qixi}则有x5大于或等于{qixi}中的任意一个，可得模型为： Min f={0.05(s-1) 0.25(s-1) 0.15(s-1) 0.55(s-1) 0.26(s-1) s}（x0 x1 x2 x3 x4 x5）‘ ?x0?1.01x1?1.02x2?1.045x3?1.065x4?1?.............0.025x1.................................................?x5?0??................0.015x2....................................?x5?0?..........s.t.? ...............................0.055x3.....................?x5?0?..........?.........................................................0.026x4.....?x5?0???xi?0各个投资者的投资偏好不一，所以s没有一个定值，就从s=0开始，以步长△k=0.001进行循环搜索，编制程序如下： i=1; for s=0.1:0.1:1; f=[-0.05*(1-s) -0.27*(1-s) -0.19*(1-s) -0.185*(1-s) -0.185*(1-s) s]'; A=[0 0.025 0 0 -1;0 0 0.015 0 0 -1; 0 0 0 0.055 0 -1;0 0 0 0 0.026 -1]; b=[0 0 0]'; aeq=[1 1.01 1.02 1.045 1.065 0]; beq=[1]; lb=zeros(6,1); [x,fval,exitflag,options,output]=linprog(f,A,b,aeq,beq,lb); x y(i)=-fval;i=i+1; end k=0.1:0.1:1; figure(1); plot(k,y,'g-');xlabel('s 权因子') ;ylabel('y收益'); title('净收益和风险关于权因子的函数') 计算结果： 使用线性加权法分别求解当s=0.1?1.0时的最优决策及风险和收益如下表： Si
s=0.1..0.7 s=0.8 13
s=0.9 s=1.0
S1 S2 S3 S4 存银行 净收益 风险 0.9901 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.2673 0.0248 0.3690 0.6150 0.0000 0.0000 0.0000 0.2165 0.0092 0.2376 0.3960 0.1080 0.2284 0.0000 0.2014 0.0059 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0500 0.0000 结果分析 1 净收益和风险是s(权因子)的单调下降函数，即谨慎程度越强，风险越小，但是收益也越小，具有明确的实际意义。 八、 模型评价 8.1模型优点 （1）本文通过将风险函数转化为不等式约束，建立了线性规划模型，直接采用程序进行计算，得出优化决策方案，并且给出了有效投资曲线，根据投资者的主观偏好，选择投资方向。 （2）模型一采用线性规划模型，将多目标规划转化为单目标规划，选取了风险上限值来决定收益，根据收益风险图，投资者可根据自己的喜好来选择 14
投资方向。 （3）模型三采用线性加权模型求解时，计算过程稳定性好，速度快，对不同的权因子进行比较，得出最优决策方案，并且给出了有效投资曲线，根据投资者的主观偏好，选择投资方向。 8.2模型缺点 当投资金额小于固定值时，建立的线性规划模型得到的结果可能不是最优解，要根据公司的资金M决策模型的优良。对于不同的金额，得到的结果不具有代表性，我们建立的模型中采用的只是M的一个特列，具有单一性 [参考文献] [1]赵静，但琦．数学建模与数学实验［M］．北京:高等教育出版社，2008． [2]李志林 欧宜贵 数学建模及典型案例分析 北京，化学工业出版社 2006 九、模型的评价 本模型的建立，是为了解决现实生活中的投资问题。公司以盈利为目的，希望将一定的资金用来投资，来得到较高的回报。这就涉及到投资项目的选择问题。 一方面，投资的利润越高越好，一方面，又希望投资的风险不能太大，来保证投资的成果。然而由于市场的成熟和完善，实际的投资项目往往并不是利润又高，而风险又小的，高收益往往伴随着高风险，若要追求低风险，那么投资的回报必不会很高。为了表示这种风险与收益之间的矛盾关系，我们在建立数学模型时，引入了多目标规划，通过两个目标函数，客观的反映了现实中的需求情况。同时，在实际投资过程中，往往并不仅仅是投资与 15