运动控制系统讲义
得到状态变量为??组。
?iAiBiCiaibic?T，输入变量为?uAuBuCTL?T的八阶微分方程
异步电动机动态模型是在线性磁路、磁动势在空间按正弦分布的假定条件下得出来的，对定、转子电压和电流未作任何假定，因此，上述动态模型完全可以用来分析含有高次谐波的三相异步电动机调速系统的动态过程。
2. 三相异步电动机模型的性质 （1）三相异步电动机模型的非独立性。
假定异步电动机三相绕组为Y无中线连接，若为△连接，可等效为Y连接，则定子和转子三相电流代数和
is??iA?iB?iC?0 （8-21）
根据磁链方程式（8-4）导出三相定子磁链代数和
?s???A??B??C?iA??ia???L?i??Li?Lss?iBsr?b?1ss??0?????iC???ic?? （8-22）
再由电压方程式（8-1）可知三相定子电压代数和
us??uA?uB?uC?Rs(iA?iB?iC)??Rsis??L1sdisd(?A??B??C)dt （8-23）
??0dt因此，三相异步电机数学模型中存在一定的约束条件：
?sisus???A??B??C?0?iA?iB?iC?0?uA?uB?uC?0 （8-24）
??同理转子绕组也存在相应的约束条件：
?rirur???a??b??c?0?ia?ib?ic?0?ua?ub?uc?0 （8-25）
??以上分析表明，三相变量中只有两相是独立的，因此三相原始数学模型并不是其物理对象最简洁的描述，完全可以且完全有必要用两相模型代替。
（2）三相异步电动机模型的非线性强耦合性质
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第七章 异步电机动态模型调速系统
三相异步电机模型中的非线性耦合主要表现在磁链方程式（8-4）与转矩方程式（8-18）中，既存在定子和转子间的耦合，也存在三相绕组间的交叉耦合。三相绕组在空间按120°分布，必然引起三相绕组间的耦合。而交流异步电动机的能量转换及传递过程，决定了定、转子间的耦合不可避免。由于定、转子间的相对运动，导致其夹角?不断变化，使得互感矩阵Lsr和Lrs均为非线性变参数矩阵。因此，异步电动机是一个高阶、非线性、强耦合的多变量系统。
8.1.2 坐标变换
三相异步电动机动态模型相当复杂，分析和求解这组非线性方程十分困难。在实际应用中必须予以简化，简化的基本方法就是坐标变换。异步电动机数学模型之所以复杂，关键是因为有一个复杂的6?6电感矩阵，它体现了影响磁链和受磁链影响的复杂关系。因此，要简化数学模型，须从简化磁链关系入手。
1. 三相-两相变换（3/2变换）
在三相对称绕组中，通以三相平衡电流iA、iB和iC，所产生的合成磁动势是旋转磁动势，它在空间呈正弦分布，以同步转速?1（即电流的角频率）旋转。但旋转磁动势并不一定非要三相不可，除单相以外，任意对称的多相绕组，通入平衡的多相电流，都能产生旋转磁动势，当然以两相最为简单。此外，三相变量中只有两相为独立变量，完全可以也应该消去一组。所以，三相绕组可以用相互独立的对称两相绕组等效代替，等效的原则是产生的磁动势相等。所谓独立是指两相绕组间无约束条件，即不存在于式（8-24）和式（8-25）类似的约束条件。所谓对称是指两相绕组在空间互差90°，如图8-2种绘出的两相绕组?、?，通以两相平衡交流电流i?和i?，也能产生旋转磁动势。
图8-2三相坐标系和两相坐标系间的变换
在三相绕组ABC和两相绕组??之间的变换，称为三相坐标系和两相坐标系间的变换，简称3/2变换。
图8-3中绘出了ABC和??两个坐标系中的磁动势矢量，将两个坐标系原点并在一起，使A轴和?轴重合。设三相绕组每相有效匝数为N3，两相绕组每相有效匝数为N2，各相磁动势为有效匝数与电流的乘积，其空间矢量均位于相关的坐标轴上。
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图8-3三相坐标系和两相坐标系中的磁动势矢量
按照磁动势相等的等效原则，三相合成磁动势与二相合成磁动势相等，故两套绕组磁动势在??轴上的投影都应相等，因此
11N2i??N3iA?N3iBcos60??N3iCcos60??N3(iA?iB?iC)22
3N2i??N3iBsin60??N3iCsin60??N3(iB?iC)2写成矩阵形式，得
1?1??i??N3?2??i??3???N2?0?2?考虑变换前后总功率不变，匝数比应为
1??i?A??2i??3??B???i?2???C? （8-26） ?N32?N23 （8-27）
代入式（8-26），得
?i???i?????1?1?2?2?33?0?2?1??i?A?2?i??3??B???iC????2?? （8-28）
令C3/2表示从三相坐标系变换到两相坐标系的变换矩阵，则
C3/2?1?1?2?2?33?0?2?1?2??3??2?? （8-29） ?如果要从两相坐标系变换到三相坐标系（简称2/3变换），可利用增广矩阵的方法把C3/2扩成方阵，
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第七章 异步电机动态模型调速系统
求其逆矩阵后，再除去增加的一列，即得
C2/3???12?1??3?2?1???2?0?3??2?3???2? （8-30）
考虑到iA?iB?iC?0，代入式（8-26）并整理后得
??i????i?????????相应的逆变换
2312?0??i?A???i2??B??? （8-31）
??iA???i????B?????2316?0??i?????1??i??2?? （8-32）
可以证明，电流变换阵也就是电压变换阵和磁链变换阵。 2. 两相静止-两相旋转变换（2s/2r变换）
两相静止绕组??，通以两相平衡交流电流，产生旋转磁动势。如果令两相绕组转起来，且旋转角速度等于合成磁动势的旋转角速度，则两相绕组通以直流电流就产生空间旋转磁动势。图8-4中绘出两相旋转绕组d和q，从两相静止坐标系??到两相旋转坐标系dq的变换，称作两相静止-两相旋转变换，简称2s/2r变换，其中s表示静止，r表示旋转，变换的原则同样是产生的磁动势相等。
图8-5中绘出了??和dq坐标系中的磁动势矢量，绕组每相有效匝数均为N2，磁动势矢量位于相关的坐标轴上。两相交流电流i?、i?和两个直流电流id、iq产生同样的以角速度?1旋转的合成磁动势
Fs。
图8-4静止两相坐标系到旋转两相坐标系变换
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图8-5两相静止和旋转坐标系中的磁动势矢量
由图可见，i?、i?和id、iq之间存在下列关系：
id?i?cos??i?sin?iq??i?sin??i?cos?写成矩阵形式，得
?id??cos?sin???i???i???i?????i??C2s/2r?i??sin?cos???????? （8-33） ?q??两相静止坐标系到两相旋转坐标系的变换阵
?cos?sin??C2s/2r?????sin?cos?? （8-34）
对式（8-33）两边都左乘以变换阵C2s/2r的逆矩阵，即得
?i???cos??i????????sin?sin???id??cos??i????cos???q??sin??1?sin???id??i?cos????q? （8-35）
则两相旋转坐标系到两相静止坐标系的变换阵是
?cos??sin??C2r/2s???sin?cos??? （8-36）
电压和磁链的旋转变换阵与电流旋转变换阵相同。
8.1.3 异步电动机在两相坐标系上的数学模型
异步电动机三相原始模型相当复杂，通过坐标变换能够简化数学模型，便于进行分析和计算。按照从特殊到一般，首先推导静止两相坐标系中的数学模型及坐标变换的作用，然后推广到任意旋转坐标系，由于运动方程不随坐标变换而变化，故仅讨论电压方程、磁链方程和转矩方程，以下论述中，下标s表示定子，下标r表示转子。
1. 两相静止坐标系中的数学模型
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