第七章 异步电机动态模型调速系统
异步电动机定子绕组是静止的，只要进行3/2变换就行了，而转子绕组是旋转的，必须通过3/2变换和两相旋转坐标系到两相静止坐标系的旋转变换，才能变换到静止两相坐标系。
（1）3/2变换
对静止的定子三相绕组和旋转的转子三相绕组进行相同的3/2变换，如图8-6所示，变换后的定子
??坐标系静止，而转子????坐标系则以?的角速度逆时针旋转，相应的数学模型为：
图8-6定子??及转子????坐标系
电压方程为
?us???Rs?u???s????0?ur????0???u?r?????0?
磁链方程为
0Rs0000Rr00?0??0??Rr??is????s???i????ds?????s?? （8-37）
?ir???dt??r???????i??r????????r???Ls??s???????0?s??????r????Lmcos???????r??????Lmsin?转矩方程为
0LsLmsin?Lmcos?Lmcos?Lmsin?Lr0?Lmsin??Lmcos????0?Lr??is???i??s?? （8-38） ?ir???????ir????Te??npLm??(is?ir???is?ir??)sin??(is?ir???is?ir??)cos??? （8-39）
式中，Lm?33Lms——定子与转子同轴等效绕组间的互感，Ls?Lms?L1s?Lm?L1s——定子等效223Lms?L1r?Lm?L1r——转子等效两相绕组的自感。 2两相绕组的自感，Lr?3/2变换将按120°分布的三相绕组等效为互相垂直的两相绕组，从而消除了定子三相绕组、转子三相绕组间的相互耦合。但定子绕组与转子绕组间仍存在相对运动，因而定、转子绕组互感仍是非线性的变参数阵。输出转矩仍是定、转子电流及其定、转子夹角?的函数。与三相原始模型相比，3/2变换
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运动控制系统讲义
减少状态变量维数，简化了定子和转子的自感矩阵。
（2）转子旋转坐标变换及静止??坐标系中的数学模型
对图8-6所示的转子坐标系????作旋转变换（两相旋转坐标系到两相静止坐标系的变换），即将
????坐标系顺时针旋转?角，使其与定子??坐标系重合，且保持静止。将旋转的转子坐标系????变
换为静止坐标系??，意味着用静止的两相绕组等效代替原先转动的转子两相绕组。
旋转变换阵为
?cos?C2r/2s(?)???sin?变换后的电压方程为
?sin?? （8-40）
cos????us???Rs?u???s????0?ur???0????ur????0?磁链方程为
0Rs0000Rr00?0??0??Rr??is????s???0??i??????0ds?s????????? （8-41） ?ir??dt??r????r?r????????i?????r??????rr????r????s???Ls?????s????0??r???Lm??????r????0转矩方程为
0Ls0LmLm0Lr00?Lm??0??Lr??is???i??s?? （8-42） ?ir??????ir???Te?npLm(is?ir??is?ir?) （8-43）
旋转变换改变了定、转子绕组间的耦合关系，将相对运动的定、转子绕组用相对静止的等效绕组来代替，从而消除了定、转子绕组间夹角?对磁链和转矩的影响。旋转变换的优点在于将非线性变参数的磁链方程转化为线性定常的方程，但却加剧了电压方程中的非线性耦合程度，将矛盾从磁链方程转移到电压方程中，并没有改变对象的非线性耦合性质。
2. 任意旋转坐标系中的数学模型
以上讨论了将相对于定子旋转的转子坐标系????作旋转变换，得到统一坐标系??，这只是旋转变换的一个特例。更广义的坐标旋转变换是对定子坐标系??和转子坐标系????同时实施的旋转变换，把它们变换到同一个旋转坐标系dq上，dq相对于定子的旋转角速度为?1，参见图8-7。
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第七章 异步电机动态模型调速系统
图8-7定子坐标系??和转子坐标系????变换到旋转坐标系dq
定子旋转变换阵为
?cos?sin??C2s/2r(?)?? （8-44） ???sin?cos??转子旋转变换阵为
?cos(???)sin(???)?C2r/2r(???)?? （8-45） ???sin(???)cos(???)?其中，C2r/2r是两相旋转坐标系????到两相旋转坐标系dq的变换矩阵。
任意旋转变换是用旋转的绕组代替原来静止的定子绕组，并使等效的转子绕组与等效的定子绕组重合，且保持严格同步，等效后定、转子绕组间不存在相对运动。变换后，可得到异步电机的模型如下：
电压方程为
?usd??Rs?u???sq???0?urd??0????urq???0?0Rs0000Rr0??sd????1?sq?0??isd??i??????0?? （8-46） ??sq??d?sq????1?sd0??ird?dt??rd???(?1??)?rq????????iRr???rq????rq???(?1??)?rd??磁链方程为
??sd??Ls?????sq???0??rd??Lm??????rq???0转矩方程为
0Ls0LmLm0Lr00?Lm??0??Lr??isd??i??sq? （8-47） ?ird?????irq??Te?npLm(isqird?isdirq) （8-48）
任意旋转变换保持定、转子等效绕组的相对静止，与式（8-41）、式（8-42）和式（8-43）相比较，磁链方程与转矩方程形式相同，仅下标发生变化，而电压方程中旋转电势的非线性耦合作用更为严重，这是因为不仅对转子绕组进行了旋转变换，对定子绕组也进行了相应的旋转变换。从表面上看来，任意旋转坐标系（dq）中的数学模型还不如静止两相坐标系（??）中的简单，实际上任意旋转坐标系的优点在于增加了一个输入量?1，提高了系统控制的自由度，磁场定向控制就是通过选择?1而实现的。
完全任意的旋转坐标系无实际使用意义，常用的是同步旋转坐标系，将绕组中的交流量变为直流量，以便模拟直流电动机进行控制。
8.1.4异步电动机在两相坐标系上的状态方程
以上讨论了用矩阵方程表示的异步电动机动态数学模型，其中既有微分方程（电压方程与运动方程），又有代数方程（磁链方程和转矩方程），本小节讨论用状态方程描述的动态数学模型。
1. 状态变量的选取
两相坐标系上的异步电动机具有4阶电压方程和1阶运动方程，因此须选取5个状态变量。可选的变量共有9个，这9个变量分为5组：转速?；定子电流isd和isq；转子电流ird和irq；定子磁链?sd和
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运动控制系统讲义
?sq；转子磁链?rd和?rq。转速作为输出必须选取，其余的4组变量可以任意选取两组，定子电流可
以直接检测，应当选为状态变量，剩下的3组均不可直接检测或检测十分困难，考虑到磁链对电机的运行很重要，可以在定子磁链和转子磁链中任选1组。
2. ?-is-?r为状态变量的状态方程 式（8-47）表示dq坐标系上的磁链方程：
?sd?Lsisd?Lmird?sq?Lsisq?Lmirq?rd?L
misd?Lrird?rq?Lmisq?Lrirq式（8-46）为任意旋转坐标系上的电压方程：
d?sddt??Rsisd??1?sq?usdd?sqdt??Rsisq??1?sd?usqd?
rddt??Rrird?(?1??)?rq?urdd?rqdt??Rrirq?(?1??)?rd?urq考虑到笼型转子内部是短路的，则urd?urq?0，于是，电压方程可写成
d?sddt??Rsisd??1?sq?usdd?sqdt??Rsisq??1?sd?usqd? rddt??Rrird?(?1??)?rqd?rqdt??Rrirq?(?1??)?rd由式（8-47）中第3、4两行可解出
i1rd?L??rd?Lmisd?ri1rq?? L?rq?Lmisq?r代入式（8-48）的转矩公式，得
TpLme?nL(isq?rd?Lmisdisq?isd?rq?Lmisdisq)r?npLmL(isq?rd?isd?rq)r将式（8-50）代入式（8-47）前2行，得
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8-49）8-50）8-51） （
（
（
第七章 异步电机动态模型调速系统
?sd??Lsisd??sqLm?rdLrL??Lsisq?m?rqLr （8-52）
将式（8-50）和式（8-52）代入微分方程组式（8-49），消去ird，irq，?sd，?sq，再将式（8-51）代入运动方程式（8-19），经整理后得状态方程：
2npd?npLm?(isq?rd?isd?rq)?TLdtJLrJd?rdL1???rd?(?1??)?rq?misddtTrTrd?rqdt??L1?rq?(?1??)?rd?misqTrTr （8-53）
2disdLmLmRsL2usdr?RrLm??rd???rq?i??i?sd1sqdt?LsLrTr?LsLr?Ls?LsL2rdisq2usqLmLmRsL2r?RrLm??rq???rd?isq??1isd?dt?LsLrTr?LsLr?Ls?LsL2rL2L式中，??1?m——电机漏磁系数，Tr?r——转子电磁时间常数。
RrLsLr状态变量为
X???rd?rq输入变量为
?isdTisq （8-54）
?U?usd?usq?1TL?T （8-55）
若令式（8-53）中的?1?0，任意旋转坐标系退化为静止两相坐标系，并将dq换为??，即得静止两相坐标系??中的状态方程：
2npd?npLm?(is??r??is??r?)?TLdtJLrJd?r?L1???r????r??mis?dtTrTrd?r?dt??L1?r????r??mis?TrTr （8-56）
2dis?LmLmRsL2us?r?RrLm??r????r??i?s?dt?LsLrTr?LsLr?Ls?LsL2rdis?2us?LmLmRsL2r?RrLm??r????r??i?s?dt?LsLrTr?LsLr?Ls?LsL2r状态变量为
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