b＋c－acosA＝2bc222c＋a－bcosB＝
2ca222a＋b－ccosC＝
2ab
(5)利用余弦定理可解决两类解三角形问题：
一类是已知三角形三边，另一类是已知三角形两边及其夹角．
222
应用示例
例1如图，在△ABC中，已知a＝5，b＝4，∠C＝120°，求c.
活动：本例是利用余弦定理解决的第二类问题，可让学生独立完成． 解：由余弦定理，得 c＝a＋b－2abcos120°， 因此c＝
122
5＋4－235343?－?＝61.
2
2
2
2
例2如图，在△ABC中，已知a＝3，b＝2，c＝19，求此三角形各个角的大小及其面积．(精确到0.1)
活动：本例中已知三角形三边，可利用余弦定理先求出最大边所对的角，然后利用正弦定理再求出另一角，进而求得第三角．教材中这样安排是为了让学生充分熟悉正弦定理和余弦定理．实际教学时可让学生自己探求解题思路，比如学生可能会三次利用余弦定理分别求出三个角，或先求出最小边所对的角再用正弦定理求其他角，这些教师都要给予鼓励，然后让学生自己比较这些方法的不同或优劣，从而深刻理解两个定理的内涵．
解：由余弦定理，得
a＋b－c3＋2－?19?9＋4－191
cos∠BCA＝＝＝＝－，
2ab23332122因此∠BCA＝120°， 再由正弦定理，得
2
2
2
2
2
2
6
3332asin∠BCA33
sinA＝＝＝≈0.596 0，
c19219因此∠A≈36.6°或∠A≈143.4°(不合题意，舍去)． 因此∠B＝180°－∠A－∠BCA≈23.4°. 设BC边上的高为AD，则
AD＝csinB＝19sin23.4°≈1.73. 1
所以△ABC的面积≈3331.73≈2.6.
2
点评：在既可应用正弦定理又可应用余弦定理时，体会两种方法存在的差异．当所求的角是钝角时，用余弦定理可以立即判定所求的角，但用正弦定理则不能直接判定．
变式训练
在△ABC中，已知a＝14，b＝20，c＝12，求A、B和C.(精确到1°) b＋c－a20＋12－14
解：∵cosA＝＝＝0.725 0，
2bc2320312∴A≈44°.
a＋b－c14＋20－12113
∵cosC＝＝＝≈0.807 1，
2ab2314320140∴C≈36°.
∴B＝180°－(A＋C)≈180°－(44°＋36°)＝100°.
例3如图，△ABC的顶点为A(6,5)，B(－2,8)和C(4,1)，求∠A.(精确到0.1°)
2
2
2
2
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2
2
2
活动：本例中三角形的三点是以坐标的形式给出的，点拨学生利用两点间距离公式先求出三边，然后利用余弦定理求出∠A.可由学生自己解决，教师给予适当的指导．
解：根据两点间距离公式，得
AB＝[6－?－2?]＋?5－8?＝73， BC＝?－2－4?＋?8－1?＝85，
7
222
2
AC＝?6－4?＋?5－1?＝25. 在△ABC中，由余弦定理，得
AB＋AC－BC2cosA＝＝≈0.104 7，
2AB2AC365因此∠A≈84.0°.
点评：三角形三边的长作为中间过程，不必算出精确数值． 变式训练
用向量的数量积运算重做本例．
→→
解：如例3题图，AB＝(－8,3)，AC＝(－2，－4)， →→
∴|AB|＝73，|AC|＝20. →→AB2AC
∴cosA＝
→→|AB||AC|
－83?－2?＋33?－4?
73320
2＝≈0.104 7.
365＝
因此∠A≈84.0°.
例4在△ABC中，已知a＝8，b＝7，B＝60°，求c及S△ABC.
活动：根据已知条件可以先由正弦定理求出角A，再结合三角形内角和定理求出角C，1
再利用正弦定理求出边c，而三角形面积由公式S△ABC＝acsinB可以求出．若用余弦定理求
2c，可利用余弦定理b＝c＋a－2cacosB建立关于c的方程，亦能达到求c的目的．
解法一：由正弦定理，得
87＝， sinAsin60°
2
2
2
2
2
2
22
∴A1＝81.8°，A2＝98.2°. ∴C1＝38.2°，C2＝21.8°. 由
7c
＝，得c1＝3，c2＝5，
sin60°sinC
11
∴S△ABC＝ac1sinB＝63或S△ABC＝ac2sinB＝103.
22解法二：由余弦定理，得b＝c＋a－2cacosB， ∴7＝c＋8－2383ccos60°.
8
2
2
2
2
2
2
整理，得c－8c＋15＝0，
11
解之，得c1＝3，c2＝5.∴S△ABC＝ac1sinB＝63或S△ABC＝ac2sinB＝103.
22
点评：在解法一的思路里，应注意用正弦定理应有两种结果，避免遗漏；而解法二更有耐人寻味之处，体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处，即可以用之建立方程，从而运用方程的观点去解决，故解法二应引起学生的注意．
综合上述例题，要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围；已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形，同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知两边及一角解三角形可用余弦定理解之．
变式训练
在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c.已知c＝2，C＝60°. (1)若△ABC的面积等于3，求a，b； (2)若sinB＝2sinA，求△ABC的面积．
解：(1)由余弦定理及已知条件，得a＋b－2abcos60°＝c，即a＋b－ab＝4， 1
又因为△ABC的面积等于3，所以absinC＝3，ab＝4.
2
?a＋b－ab＝4，?
联立方程组?
??ab＝4，
2
2
2
2
2
2
2
2
解得a＝2，b＝2.
(2)由正弦定理及已知条件，得b＝2a，
??a＋b－ab＝4，
联立方程组?
?b＝2a，?
2
2
2343
解得a＝，b＝.
33
123
所以△ABC的面积S＝absinC＝.
23
知能训练
1．在△ABC中，已知C＝120°，两边a与b是方程x－3x＋2＝0的两根，则c的值为? ( )
A.3 B．7 C．3 D.7
2．已知三角形的三边长分别为x＋x＋1，x－1,2x＋1(x＞1)，求三角形的最大角． 答案：
1．D 解析：由题意，知a＋b＝3，ab＝2. 在△ABC中，由余弦定理，知
9
2
2
2
c＝a＋b－2abcosC＝a＋b＋ab ＝(a＋b)－ab ＝7， ∴c＝7.
2．解：比较得知，x＋x＋1为三角形的最大边，设其对角为A. 由余弦定理，得
?x－1?＋?2x＋1?－?x＋x＋1?cosA＝ 2
2?x－1??2x＋1?1＝－. 2
∵0＜A＜180°，∴A＝120°， 即三角形的最大角为120°.
2
2
2
2
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2
2
22222
课堂小结
1．教师先让学生回顾本节课的探究过程，然后再让学生用文字语言叙述余弦定理，准确理解其实质，并由学生回顾可用余弦定理解决哪些解三角形的问题．
2．教师指出：从方程的观点来分析，余弦定理的每一个等式都包含了四个不同的量，知道其中三个量，便可求得第四个量．要通过课下作业，从方程的角度进行各种变形，达到辨明余弦定理作用的目的．
3．思考本节学到的探究方法，定性发现→定量探讨→得到定理．
作业
课本习题1—1A组4、5、6；习题1—1B组1～5.
设计感想
本教案的设计充分体现了“民主教学思想”，教师不主观、不武断、不包办，让学生充分发现问题，合作探究，使学生真正成为学习的主体，力求在课堂上人人都会有“令你自己满意”的探究成果．这样能够不同程度地开发学生的潜能，且使教学内容得以巩固和延伸．“发现法”是常用的一种教学方法，本教案设计是从直角三角形出发，以归纳——猜想——证明——应用为线索，用恰当的问题通过启发和点拨，使学生把规律和方法在愉快的气氛中探究出来，而展现的过程合情合理，自然流畅，学生的主体地位得到了充分的发挥．
纵观本教案设计流程，引入自然，学生探究到位，体现新课程理念，能较好地完成三维目标，课程内容及重点难点也把握得恰到好处．环环相扣的设计流程会强烈地感染着学生积
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