a＝b＋c－2bccosA b＝a＋c－2accosB c＝b＋a－2bacosC 正弦定理 abc＝＝＝2R sinAsinBsinC三角形面积公式 1S＝bcsinA 21 ＝acsinB 21 ＝absinC 2
222222222(2)已知两边及其夹角 类型(3)在有解时只有一解，(3)已知两角和一边 类型(4)可有两解、一解或无(4)已知两边及其中一边的对角 解 (5)已知两边及其夹角 对于正弦定理，教师引导学生写出其变式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，利用幻灯片更能直观地看出解三角形时的边角互化．对于余弦定理，教师要引导学生写出其变式(然后教师打出幻灯片)：∠A＞90°?a＞b＋c；∠A＝90°?a＝b＋c；∠A＜90°?a＜b＋c.
以上内容的复习回顾如不加以整理，学生将有杂乱无章、无规碰撞之感，觉得好像更难以把握了，要的就是这个效果，在看似学生乱提乱问乱说乱写的时候，教师适时地打出幻灯片(1张)，立即收到耳目一新，主线立现、心中明朗的感觉，幻灯片除以上2张外，还有：
abc222222222
＝＝＝2R；a＝b＋c－2bccosA，b＝a＋c－2accosB，c＝a＋b－sinAsinBsinC
b＋c－aa＋c－ba＋b－c
2abcosC；cosA＝，cosB＝，cosC＝. 2bc2ac2ab
出示幻灯片后，必要时教师可根据学生的实际情况略作点评．
与学生一起讨论解三角形有时会出现无解的情况．如问题(4)中的①会出现如下解法： bsinA25sin133°
根据正弦定理，sinB＝＝≈0.831 1.
a22∵0°＜B＜180°，∴B≈56.21°或B≈123.79°.
于是C＝180°－(A＋B)≈180°－(133°＋56.21°)＝－9.21°或C＝180°－(A＋
2
2
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2
2
16
B)≈180°－(133°＋123.79°)＝－76.79°.
到这里我们发现解三角形竟然解出负角来，显然是错误的．问题出在哪里呢？在检验以上计算无误的前提下，教师引导学生分析已知条件．由a＝22 cm，b＝25 cm，这里a＜b，而A＝133°是一个钝角，根据三角形的性质应用A＜B，即B也应该是一个钝角，但在一个三角形中是不可能有两个钝角的．这说明满足已知条件的三角形是不存在的．同样②中满足条件的三角形也是不存在的，因为根据我们所学过的三角形知识，任何三角形的两边之和都大于第三边．而三边在条件3 cm，4 cm，7 cm中两边和等于或小于第三边，在此情况下当然也无法解出三角形．
讨论结果： (1)、(3)、(4)略．
(2)利用正弦定理和余弦定理可解决以下四类解三角形问题： ①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)． ③已知三边，求三个角．
④已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
应用示例
例1在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，b＝acosC且△ABC的最大边长1为12，最小角的正弦值为.
3
(1)判断△ABC的形状； (2)求△ABC的面积．
活动：教师与学生一起共同探究本例，通过本例带动正弦定理、余弦定理的知识串联，引导学生观察条件b＝acosC，这是本例中的关键条件．很显然，如果利用正弦定理实现边a＋b－c
角转化，则有2RsinB＝2RsinA2cosC.若利用余弦定理实现边角转化，则有b＝a2，
2ab两种转化策略都是我们常用的．引导学生注意对于涉及三角形的三角函数变换．内角和定理ABπC
A＋B＋C＝180°非常重要，常变的角有＋＝－，2A＋2B＋2C＝2π，sinA＝sin(B＋C)，
2222AB＋CAB＋C
cosA＝－cos(B＋C)，sin＝cos，cos＝sin等，三个内角的大小范围都不能超出2222(0°，180°)．
解：(1)方法一：∵b＝acosC，
2
2
2
17
∴由正弦定理，得sinB＝sinA2cosC.
又∵sinB＝sin(A＋C)，∴sin(A＋C)＝sinA2cosC， 即cosA2sinC＝0.
π
又∵A、C∈(0，π)，∴cosA＝0，即A＝. 2∴△ABC是A＝90°的直角三角形． 方法二：∵b＝acosC，
a＋b－c
∴由余弦定理，得b＝a2，
2ab2b＝a＋b－c，即a＝b＋c.
由勾股定理逆定理，知△ABC是A＝90°的直角三角形． (2)∵△ABC的最大边长为12，由(1)知斜边a＝12. 1
又∵△ABC最小角的正弦值为，
31
∴Rt△ABC的最短直角边长为123＝4.
3另一条直角边长为12－4＝82， 1
∴S△ABC＝34382＝162.
2
点评：以三角形为载体，以三角变换为核心，结合正弦定理和余弦定理综合考查逻辑分析和计算推理能力是高考命题的一个重要方向．因此要特别关注三角函数在解三角形中的灵活运用，及正、余弦定理的灵活运用．
变式训练
4
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且cosA＝.
5(1)求sin
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
B＋C
＋cos2A的值； 2
(2)若b＝2，△ABC的面积S＝3，求a. 解：(1)sin＝
2
B＋C1－cos?B＋C?
＋cos2A＝＋cos2A 22
1＋cosA592
＋2cosA－1＝. 250
43(2)∵cosA＝，∴sinA＝. 55
113
由S△ABC＝bcsinA得3＝32c3，解得c＝5.
225
18
42222
由余弦定理a＝b＋c－2bccosA，可得a＝4＋25－232353＝13，
5∴a＝13.
例2已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，若a＝7，c＝5，∠A＝120°，求边长b及△ABC外接圆半径R.
活动：教师引导学生观察已知条件，有边有角，可由余弦定理先求出边b，然后利用正弦定理再求其他．点拨学生注意体会边角的互化，以及正弦定理和余弦定理各自的作用．
解：由余弦定理，知a＝b＋c－2bccosA，即b＋5－2353bcos120°＝49， ∴b＋5b－24＝0. 解得b＝3.(负值舍去)．
a773
由正弦定理：＝2R，即＝2R，解得R＝.
sinAsin120°373
∴△ABC中，b＝3，R＝.
3
点评：本题直接利用余弦定理，借助方程思想求解边b，让学生体会这种解题方法，并探究其他的解题思路．
变式训练
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b＋c＝a＋3bc，求： (1)A的大小；
(2)2sinB2cosC－sin(B－C)的值．
b＋c－a3bc3
解：(1)由余弦定理，得cosA＝＝＝，
2bc2bc2∴∠A＝30°.
(2)2sinBcosC－sin(B－C)
＝2sinBcosC－(sinB2cosC－cosBsinC) ＝sinBcosC＋cosBsinC ＝sin(B＋C) ＝sinA 1
＝. 2
19
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
例3如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝∠BCD＝75°，∠ACB＝∠BDC＝45°，DC＝3，求：
(1)AB的长；
(2)四边形ABCD的面积．
活动：本例是正弦定理、余弦定理的灵活应用，结合三角形面积求解，难度不大，可让学生自己独立解决，体会正、余弦定理结合三角形面积的综合应用．
解：(1)因为∠BCD＝75°，∠ACB＝45°，所以∠ACD＝30°. 又因为∠BDC＝45°，
所以∠DAC＝180°－(75°＋ 45°＋ 30°)＝30°.所以AD＝DC＝3. 在△BCD中，∠CBD＝180°－(75°＋ 45°)＝60°， BDDC3sin75°6＋2
所以＝，BD ＝＝.
sin75°sin60°sin60°2
在△ABD中，AB＝AD＋ BD－23AD3BD3cos75°＝(3)＋(3
6＋26－23＝ 5，所以AB＝5. 24
116＋26＋23＋23(2)S△ABD＝3AD3BD3sin75°＝3333＝.
222443＋3
同理， S△BCD＝.
4所以四边形ABCD的面积S＝
6＋33
. 4
2
2
2
2
6＋22
)－2332
点评：本例解答对运算能力提出了较高要求，教师应要求学生“列式工整、算法简洁、运算正确”，养成规范答题的良好习惯．
变式训练
如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2.
20