(1)求cos∠CBE的值； (2)求AE.
解：(1)因为∠BCD＝90°＋60°＝150°， CB＝AC＝CD， 所以∠CBE＝15°.
所以cos∠CBE＝cos(45°－30°)＝(2)在△ABE中，AB＝2，
AE2
由正弦定理，得＝，
sin?45°－15°?sin?90°＋15°?2sin30°
故AE＝＝＝6－2.
cos15°6＋2
4
例4在△ABC中，求证：asin2B＋bsin2A＝2absinC.
活动：此题所证结论包含关于△ABC的边角关系，证明时可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦定理转化为边的关系，若是余弦形式则通过余弦定理；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理．另外，此题要求学生熟悉相关的三角函数的有关公式，如sin2B＝2sinBcosB等，以便在化为角的关系时进行三角函数式的恒等变形．
证法一： (化为三角函数)
asin2B＋bsin2A＝(2RsinA)22sinB2cosB＋(2RsinB)22sinA2cosA＝8RsinA2sinB(sinAcosB＋cosAsinB)＝8RsinAsinBsinC＝222RsinA22RsinB2sinC＝2absinC.
所以原式得证．
证法二： (化为边的等式)
2ba＋c－b2ab＋c－aab2
左边＝a22sinBcosB＋b22sinAcosA＝a22＋b22＝
2R2ac2R2bc2Rc
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6＋2. 4
1232
abc2222222
(a＋c－b＋b＋c－a)＝22c＝2ab2＝2absinC.
2Rc2R
点评：由边向角转化，通常利用正弦定理的变形式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，
21
在转化为角的关系式后，要注意三角函数公式的运用，在此题用到了正弦二倍角公式sin2A＝2sinA2cosA，正弦两角和公式sin(A＋B)＝sinA2cosB＋cosA2sinB；由角向边转化，要结合正弦定理变形式以及余弦定理形式二．
变式训练
在△ABC中，求证： a＋bsinA＋sinB(1)2＝； 2
csinC
(2)a＋b＋c＝2(bccosA＋cacosB＋abcosC)． 证明：(1)根据正弦定理，可设 abc＝＝ ＝ k， sinAsinBsinC显然 k≠0，所以
a＋bksinA＋ksinBsinA＋sinB左边＝2＝＝＝右边． 222
cksinCsinC(2)根据余弦定理，得
b＋c－ac＋a－ba＋b－c
右边＝2(bc＋ca＋ab) 2bc2ca2ab＝(b＋c－ a)＋(c＋a－b)＋(a＋b－c) ＝a＋b＋c＝左边．
2
2
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知能训练
1．已知△ABC的三个内角A、B、C所对的三边分别为a、b、c.若△ABC的面积S＝cC2
－(a－b)，则tan等于( )
2
111
A. B. C. D．1 2482．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足4sin(1)求角B的度数；
(2)若b＝3，a＋c＝3，且a＞c，求a、c的值． 答案：
1．B 解析：由余弦定理及面积公式，得 1222
S＝c－a－b＋2ab＝－2abcosC＋2ab＝absinC，
2
22
2
2
A＋C7
－cos2B＝. 22
∴
1－cosC1
＝. sinC4
C1－cosC1∴tan＝＝.
2sinC4
12
2．解：(1)由题意，知4cosB－4cosB＋1＝0，∴cosB＝.
2∵0＜B＜180°，∴B＝60°.
(2)由余弦定理，知3＝a＋c－ac＝(a＋c)－3ac＝9－3ac， ∴ac＝2.① 又∵a＋c＝3，②
解①②联立的方程组，得a＝2，c＝1或a＝1，c＝2. ∵a＞c，∴a＝2，c＝1.
2
2
2
课堂小结
教师与学生一起回顾本节课我们共同探究的解三角形问题，特别是已知两边及其一边的对角时解的情况，通过例题及变式训练，掌握了三角形中边角互化的问题以及联系其他知识的小综合问题．学到了具体问题具体分析的良好思维习惯．
教师进一步点出，解三角形问题是确定线段的长度和角度的大小，解三角形需要利用边角关系，三角形中，有六个元素：三条边、三个角；解三角形通常是给出三个独立的条件(元素)，求出其他的元素，如果是特殊的三角形，如直角三角形，两个条件(元素)就够了．正弦定理与余弦定理是刻画三角形边角关系的重要定理，正弦定理适用于已知两角一边，求其他要素；余弦定理适用于已知两边和夹角，或者已知三边求其他要素．
作业
课本本节习题1—1B组6、7.
补充作业
tanAa1．在△ABC中，若＝2，试判断△ABC的形状．
tanBb
2．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，A＝60°，B＞C，b、c是方程x－23x＋m＝0的两个实数根，△ABC的面积为
2
2
2
2
3
，求△ABC的三边长． 2
tanAasinA2cosBa
解答：1.由＝2，得＝2，
tanBbcosA2sinBb由正弦定理，得a＝2RsinA，b＝2RsinB， sinA2cosB4RsinA
∴＝22. cosA2sinB4RsinB
2
2
23
∴sinA2cosA＝sinB2cosB， 即sin2A＝sin2B. ∴A＋B＝90°或A＝B，
即△ABC为等腰三角形或直角三角形．
1133
2．由韦达定理，得bc＝m，S△ABC＝bcsinA＝msin60°＝m＝，
2242∴m＝2.
则原方程变为x－23x＋2＝0， 解得两根为x＝3±1. 又B＞C，∴b＞c. 故b＝3＋1，c＝3－1.
由余弦定理a＝b＋c－2bccosA＝6，得a＝6.
∴所求三角形的三边长分别为a＝6，b＝3＋1，c＝3－1.
设计感想
本教案设计的思路是：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法，具体解三角形时，所选例题突出了函数与方程的思想，将正弦定理、余弦定理视作方程或方程组，处理已知量与未知量之间的关系．
本教案的设计注重了一题多解的训练，如例4给出了两种解法，目的是让学生对换个角度看问题有所感悟，使学生经常自觉地从一个思维过程转换到另一个思维过程，逐步培养出创新意识．换一个角度看问题，变通一下，也许会有意想不到的效果．
备课资料
一、正弦定理、余弦定理课外探究 1．正、余弦定理的边角互换功能
对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉，在解三角形的问题中常会用到它，其实，在涉及到三角形的其他问题中，也常会用到它们．两个定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决．
sinA3a＋b
【例1】 已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且＝，求的值．
sinB2b
2
2
2
2
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解：∵
absinAasinA3＝，∴＝.又＝(这是角的关系)， sinAsinBsinBbsinB2
a3a＋b3＋25∴＝(这是边的关系)．于是，由合比定理，得＝＝. b2b22
【例2】 已知△ABC中，三边a、b、c所对的角分别是A、B、C，且2b＝a＋c. 求证：sinA＋sinC＝2sinB.
证明：∵a＋c＝2b(这是边的关系)，① 又
abcbsinA
＝＝，∴a＝，② sinAsinBsinCsinB
bsinCc＝.③
sinB
bsinAbsinC
将②③代入①，得＋＝2b.整理，得sinA＋sinC＝2sinB(这是角的关系)．
sinBsinB2．正、余弦定理的巧用
某些三角习题的化简和求解，若能巧用正、余弦定理，则可避免许多繁杂的运算，从而使问题较轻松地获得解决，现举例说明如下：
【例3】 求sin20°＋cos80°＋3sin20°cos80°的值． 解：原式＝sin20°＋sin10°－2sin20°sin10°cos150°，
∵20°＋10°＋150°＝180°，∴20°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角． 设这三个内角所对的边依次是a、b、c，由余弦定理，得a＋b－2abcos150°＝c.(*) 而由正弦定理，知a＝2Rsin20°，b＝2Rsin10°，c＝2Rsin150°，代入(*)式，得sin20°1122
＋sin10°－2sin20°sin10°cos150°＝sin150°＝.∴原式＝.
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二、备用习题
1．在△ABC中，已知a＝11，b＝20，A＝130°，则此三角形( ) A．无解 B．只有一解 C．有两解 D．解的个数不确定
2．△ABC中，已知(a＋c)(a－c)＝b＋bc，则A等于( )
A．30° B．60° C．120° D．150° ab
3．△ABC中，若＝，则该三角形一定是( )
cosBcosAA．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形 C．等腰直角三角形
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