初中数学二次函数做题技巧
初中数学中考要点及二次函数试题精要
I.定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P（h，k）] 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a
III.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。 IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为 P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0，c） 6.抛物线与x轴交点个数 Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。
V.二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2;+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax^2;+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
画抛物线y＝ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。 二次函数解析式的几种形式
(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0). (2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).
(3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.
说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax^
2；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax^2+k 定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c （a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。）则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 x是自变量，y是x的函数 二次函数的三种表达式
①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
②顶点式[抛物线的顶点 P(h，k) ]：y=a(x-h)^2+k
③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2)
初中数学二次函数做题技巧
以上3种形式可进行如下转化：
①一般式和顶点式的关系对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a
②一般式和交点式的关系 x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)
2012中考数学精选例题解析：一次函数（1）
知识考点：
掌握二次函数的图像和性质以及抛物线的平移规律；会确定抛物线的顶点坐标、对称轴及最值等。 精典例题：
【例1】二次函数y?ax2?bx?c的图像如图所示，那么
abc、
b?4ac、2a?b、4a?2b?c这四个代数式中，值为正的有A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
2y（ ）
b＜1 2a ∴2a?b＞0
解析：∵x?答案：A
-1O1x 例1图 评注：由抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴的位置判定b的符号，由抛物线与y轴交点位置判定c的符号。由抛物线与x轴的交点个数判定b?4ac的符号，若x轴标出了1和－1，则结合函数值可判定2a?b、a?b?c、a?b?c的符号。
【例2】已知a?b?c?0，a≠0，把抛物线y?ax2?bx?c向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式。
分析：①由a?b?c?0可知：原抛物线的图像经过点（1，0）；②新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线。
解：可设新抛物线的解析式为y?a(x?2)2，则原抛物线的解析式为y?a(x?2?5)2?1，又易知原抛物线过点（1，0）
2∴0?a(1?2?5)?1，解得a??21 4∴原抛物线的解析式为：y??1(x?3)2?1 4评注：解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系，以及所对应的解析式间的联系，并注意逆向思维的应用。
另外，还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有：①开口反向（或旋转1800），此时顶点坐标不变，只是a反号；②两抛物线关于x轴对称，此时顶点关于x轴对称，a反号；③两抛物线关于y轴对称，此时顶点关于y轴对称； 探索与创新：
【问题】已知，抛物线y?a(x?t?1)?t（a、t是常数且不等于零）的顶点是A，如图所示，
22抛物线y?x?2x?1的顶点是B。
（1）判断点A是否在抛物线y?x?2x?1上，为什么？
22初中数学二次函数做题技巧
（2）如果抛物线y?a(x?t?1)2?t2经过点B，①求a的值；②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，请说明理由。
解析：（1）抛物线y?a(x?t?1)2?t2的顶点A（t?1，当时，y?x2?2x?1?(x?1)2?(x?1?1)2＝t，所以点A
2yt2），而x?t?1在
抛
物
线
y?x?2x?1上。
（2）①顶点B（1，0），a(1?t?1)2?t2?0，∵t?0，
2 OBx∴a??1；②设
问题图 抛物线y?a(x?t?1)2?t2与x轴的另一交点为C，∴B（1，0），C（2t?1，0），由抛物线的对称性可知，△ABC为等腰直角三角形，过A作AD⊥x轴于D，则AD＝BD。当点C在点B的左边时，；当点C在点B的右边时，t2?(t?1)?1，解得t?1或t?0t2?1?(t?1)，解得t??1或t?0（舍）
（舍）。故t??1。
评注：若抛物线的顶点与x轴两交点构成的三角形是直角三角形时，它必是等腰直角三角形，常用其“斜边上的中线（高）等于斜边的一半”这一关系求解有关问题。 跟踪训练： 一、选择题：
1、二次函数y?ax2?bx?c的图像如图所示，OA＝ ①abc＜0； ②4ac?b； ③ac?b??1； ④2a?b?0；
A-2O1CB2OC，则下列结论：
yxc⑤OA?OB??；
a⑥4a?2b?c?0。其中正确的有（ ）
2第1题图 A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
2、二次函数y?x?bx?c的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图像的解析式为
y?x2?2x?1，则b与c分别等于（ ）
A、6、4 B、－8、14
C、4、6 D、－8、－14
3、如图，已知△ABC中，BC＝8，BC边上的高h?4，D为BC交AB于E，交AC于F（EF不过A、B），设E到BC的的面积为y，那么y关于x的函数图像大致是（ ）
EAFBDC第3题图 BC上一点，EF∥距离为x，△DEF
y42Oy4242y42Oyx O24x O24x 24
A B C D
24x
3题图 2与四条直线x?1，x?2，y?1，y?2围成的正方形有公共点，则4、若抛物线3y题图?axa的取值范围
初中数学二次函数做题技巧
是（ ） A、
1111≤a≤1 B、≤a≤2 C、≤a≤1 D、≤a≤2 42245、如图，一次函数y?kx?b与二次函数y?ax2?bx?c的大致图像是（ ）
yOyyOy
xO
xx
Ox
3题图 题图 A 3 B 3C D 3题图题图二、填空题：
1、若抛物线y?(m?1)x2?2mx?3m?2的最低点在x轴上，则m的值为 。
2、二次函数y?4x2?mx?5，当x??2时，y随x的增大而减小；当x??2时，y随x的增大而增大。则当x??1时，y的值是 。
3、已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是y轴，向下平移1个单位后与x轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 。
4、已知抛物线y?(m2?2)x2?4mx?n的对称轴是x?2，且它的最高点在直线y?的顶点为 ，n＝ 。 三、解答题：
1、已知函数y?x2?(m?2)x?m的图像过点（－1，15），设其图像与x轴交于点A、B，点C在图像上，且S?ABC?1，求点C的坐标。
2、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前
。根据图象提供的信息，解答下列问题： t个月的利润总和S与t之间的关系）
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S（万元）与时间t（月）之间的函数关系式； （2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元； （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
1x?1上，则它2 4 32 1 O -1 -2 -3 S（万元）yCD1 2 3456 t（月）月 BAOx第2题图
第4题图 23、抛物线y?x，y??12x和直线x?a（a＞0）分别交于A、B两点，已知∠AOB＝900。 2O
O（1）求过原点O，把△AOB面积两等分的直线解析式； （2）为使直线y?2x?b与线段AB相交，那么b值应是怎样的范围才适合？
初中数学二次函数做题技巧
4、如图，抛物线y?ax2?4ax?t与x轴的一个交点为A（－1，0）。
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；
（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧。问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
参考答案
一、选择题：BCDDC 二、填空题：
1、2；2、－7；3、y?三、解答题：
1、C（3?2、（1）S?、（3，－1） 2，1）或（3?2，1）
1(x?2)2?1；4、（2，2），n??2； 212t?2t；（2）10月；（3）5.5万元 23、（1）y?2（2）－3≤b≤0 x；44、（1）B（－3，0）；（2）y?x2?4x?3或y??x2?4x?3； （3）在抛物线的对称轴上存在点P（－2，
1），使△APE的周长最小。 2