初中数学二次函数做题技巧
2012中考数学精选例题解析 函数与一元二次方程
知识考点：
1、理解二次函数与一元二次方程之间的关系；
2、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与x轴的交点情况； 3、会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。 精典例题：
【例1】已抛物线y?(m?1)x2?(m?2)x?1（m为实数）。
（1）m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？
（2）如果抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积为2，求该抛物线的解析式。
分析：抛物线与x轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根m应满足的条件。
?m?1?0略解：（1）由已知有?，解得m?0且m?1 2???m?0 （2）由x?0得C（0，－1）
又∵AB??m? am?1∴S?ABC?∴m?11m?AB?OC???1?2 22m?144或m? 35122126∴y?x?x?1或y??x?x?1
3355【例2】已知抛物线y?x2?(m2?8)x?2(m2?6)。
（1）求证：不论m为任何实数，抛物线与x轴有两个不同的交点，且这两个点都在x轴的正半轴上；
（2）设抛物线与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，当△ABC的面积为48平方单位时，求m的值。
（3）在（2）的条件下，以BC为直径作⊙M，问⊙M是否经过抛物线的顶点P？
解析：（1）??(m?4)?0，由x1?x2?m?8?0，x1x2?2(m?6)?0可得证。 （2）BC?x1?x2? ＝m?4 OA?2(m?6) 又∵S?ABC?48
222222(x1?x2)2?4x1x2?(m2?8)2?8(m2?6)
初中数学二次函数做题技巧
∴
1?(m2?4)?2(m2?6)?48 222 解得m?2或m??12（舍去） ∴m??2
（3）y?x2?10x?16，顶点（5，－9），BC?6 ∵?9?6
∴⊙M不经过抛物线的顶点P。
评注：二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，因此，善于促成二次函数问题与二次方程问题的相互转化，是解相关问题的常用技巧。 探索与创新：
c2【问题】如图，抛物线y?x?(a?b)x?，其中a、b、
42c分别是△
yENOPFMQ ABC的∠A、∠B、∠C的对边。
（1）求证：该抛物线与x轴必有两个交点；
（2）设有直线y?ax?bc与抛物线交于点E、F，与y轴交线与y轴交于点N，若抛物线的对称轴为x?a，△MNE与△MNF5∶1，求证：△ABC是等边三角形；
（2）当S?ABC?3时，设抛物线与x轴交于点P、Q，问是Q两点且与y轴相切的圆？若存在这样的圆，求出圆心的坐标；说明理由。
解析：（1）??(a?b)?c?(a?b?c)(a?b?c) ∵a?b?c?0，a?b?c?0
∴??0 （2）由
22于点M，抛物
x的面积之比为
否存在过P、
问题图 若不存在，请
a?b?a得a?b 2?c22c2?y?x?(a?b)x??ac?0 由?4得：x?3ax?4?y?ax?bc?c2?ac 设E（x1，y1），F（x2，y2），那么：x1?x2?3a，x1x2?4 由S?MNE∶S?MNF＝5∶1得：x1?5x2 ∴x1?5x2或x1??5x2
由x1?x2?0知x1??5x2应舍去。
NOPFMQ yEx问题图 初中数学二次函数做题技巧
?x1?x2?3aa 由?解得x2?
2?x1?5x2c2?a? ∴5????ac，即5a2?4ac?c2?0
4?2? ∴ a?c或5a?c?0（舍去）
∴ a?b?c
∴△ABC是等边三角形。 （3）S?ABC?3，即
232a?3 4 ∴a?2或a??2（舍去）
∴a?b?c?2，此时抛物线y?x2?4x?1的对称轴是x?2，与x轴的两交点坐标为P（2?3，0），Q（2?3，0）
设过P、Q两点的圆与y轴的切点坐标为（0，t），由切割线定理有：t2?OP?OQ
∴t??1
故所求圆的圆心坐标为（2，－1）或（2，1） 评注：本题（1）（2）问与函数图像无关，而第（3）问需要用前两问的结论，解题时千万要认真分析前因后果。同时，如果后一问的解答需要前一问的结论时，尽管前一问没有解答出来，倘能会用前一题的结论来解答后一问题，也是得分的一种策略。 跟踪训练： 一、选择题：
21、已知抛物线y?5x?(m?1)x?m与x轴两交点在y轴同侧，它们的距离的平方等于
49，则m的25值为（ ）
A、－2 B、12 C、24 D、－2或24
2、已知二次函数y1?ax2?bx?c（a≠0）与一次函数y2?kx?m（k≠0）的图像交于点A（－2，4），B（8，2），如图所示，则能使y1?y2成立的x的取值范围是（ ） A、x??2 B、x?8 C、?2?x?8 D、x??2或x?8
yAB Oyy AOEB xAOBx
2x
第2题图 第3题图
第4题图 3、如图，抛物线y?ax?bx?c与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且△ABE是等腰直角三角形，
2AE＝BE，则下列关系：①a?c?0；②b?0；③ac??1；④S?ABE?c其中正确的有（ ）
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
4、设函数y??x?2(m?1)x?m?1的图像如图所示，它与x轴交于A、B两点，线段OA与OB的
2初中数学二次函数做题技巧
比为1∶3，则m的值为（ ） A、
11或2 B、 C、1 D、2 33二、填空题：
1、已知抛物线y?x2?(k?1)x?3k?2与x轴交于两点A（?，0），B（?，0），且?2??2?17，则k＝ 。
2、抛物线y?x2?(2m?1)x?2m与x轴的两交点坐标分别是A（x1，0），B（x2，0），且则m的值为 。 3、若抛物线y??＝ 。
4、已知二次函数y?kx2?(2k?1)x?1与x轴交点的横坐标为x1、x2(x1?x2)，则对于下列结论：①当x??2时，y?1；②当x?x2时，y?0；③方程kx2?(2k?1)x?1＝0有两个不相等的实数根x1、
x1?1，x212x?mx?m?1交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且∠ACB＝900，则m21?4k2，其中所有正确的结论是 （只x2；④x1??1，x2??1；⑤x2?x1?k填写顺号）。 三、解答题：
1、已知二次函数y?ax2?bx?c（a≠0）的图像过点E（2，3），对称轴为x?1，它的图像与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0），且x1?x2，x1?x2?10。
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在（1）中抛物线上是否存在点P，使△POA的面积等于△EOB的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
2、已知抛物线y??x2?(m?4)x?2m?4与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且x1?x2，x1?2x2?0，若点A关于y轴的对称点是点D。
（1）求过点C、B、D的抛物线解析式；
（2）若P是（1）中所求抛物线的顶点，H是这条抛物线上异于点C的另一点，且△HBD与△CBD的面积相等，求直线PH的解析式；
3、已知抛物线y?22123x?mx?2m交x轴于点A（x1，0），B（x2，0）两点，交y轴于点C，222且x1?0?x2，(AO?BO)?12CO?1。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴的下方是否存在着抛物线上的点，使∠APB为锐角、钝角，若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由。
参考答案
一、选择题：CDBD 二、填空题：
初中数学二次函数做题技巧
1、2；2、三、解答题：
1；3、3；4、①③④ 21、（1）y??x2?2x?3；（2）存在，P（1?13，－9）或（1?13，－9） 2、（1）y?x2?6x?8；（2）y?3x?10 3、（1）y?∠APB为钝角。
123x?x?2；（2）当0?xP?3时∠APB为锐角，当?1?xP?0或3?xP?4时22中考数学知识点速记口诀(一)
1.有理数的加法运算：同号相加一边倒;异号相加\大\减\小\，符号跟着大的跑;绝对值相等\零\正好。【注】\大\减\小\是指绝对值的大小。
2.合并同类项：合并同类项，法则不能忘，只求系数和，字母、指数不变样。
3.去、添括号法则：去括号、添括号，关键看符号，括号前面是正号，去、添括号不变号，括号前面是负号，去、添括号都变号。
4.一元一次方程:已知未知要分离，分离方法就是移，加减移项要变号，乘除移了要颠倒。 5.恒等变换：两个数字来相减，互换位置最常见，正负只看其指数，奇数变号偶不变。(a-b)2n+1=-(b-a)2n+1(a-b)2n=(b-a)2n
6.平方差公式:平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。 7.完全平方:完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央;首±尾括号带平方，尾项符号随中央。
8.因式分解：一提(公因式)二套(公式)三分组，细看几项不离谱，两项只用平方差，三项十字相乘法，阵法熟练不马虎，四项仔细看清楚，若有三个平方数(项)，就用一三来分组，否则二二去分组，五项、六项更多项，二三、三三试分组，以上若都行不通，拆项、添项看清楚。
9.\代入\口决：挖去字母换上数(式)，数字、字母都保留;换上分数或负数，给它带上小括弧，原括弧内出(现)括弧，逐级向下变括弧(小-中-大)
10.单项式运算：加、减、乘、除、乘(开)方，三级运算分得清，系数进行同级(运)算，指数运算降级(进)行。