13t?t?3?t 2234由3?t?1，得t? ﹙s﹚,此时⊙P与直线CD相割．
23∴PC?3?当⊙P在左侧与直线OC相切时﹙如图3﹚，
13(6?t)?t?3 2238由t?3?1，得t?﹙s﹚，此时⊙P与直线CD相割． 2348综上，当t?s或s时，⊙P与直线OC相切，⊙P与直线CD相割．
33PC?t?3、（2010年兰州26）（本题满分10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点
C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB. （1）求证：PC是⊙O的切线；
1 （2）求证：BC=2AB；
（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值. 答案（本题满分10分）
解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO
∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB
∴∠A=∠ACO=∠PCB ????????????????????1分
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACO+∠OCB=90° ???????????????????2分
∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP ????????????????3分
∵OC是⊙O的半径
∴PC是⊙O的切线 ???????????????????4分
（2）∵PC=AC ∴∠A=∠P ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P
∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB
∴∠CBO=∠COB ?????????????????5分
∴BC=OC
1 ∴BC=2AB ?????????????????????6分
(3)连接MA,MB ∵点M是弧AB的中点
∴弧AM=弧BM ∴∠ACM=∠BCM ???7分 ∵∠ACM=∠ABM ∴∠BCM=∠ABM
∵∠BMC=∠BMN
∴△MBN∽△MCB
BMMN?BM ∴MC∴BM=MC·MN ????????8分
∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM ∴∠AMB=90°,AM=BM
∵AB=4 ∴BM=22 ?????????????????????9分
2
∴MC·MN=BM=8 ????????????????????10分
2
4、（毕节24．）（本题12分）如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙
O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点．求证：GE是⊙O的切线．
答案：证明：（证法一）连接OE，DE． 1分 ∵CD是⊙O的直径，
??AED??CED?90?．
∵G是AD的中点，
2分
1AD?DG． 2??1??2．
??3??4． ∵OE?OD，?EG?4分
6分
8分 10分 12分
1分 2分 4分 6分
8分 10分 12分
??1??3??2??4．即?OEG??ODG?90?． ?GE是⊙O的切线．
（证法二）连接OE，OG． ∵AG?GD，CO?OD， ?OG∥AC．
??1??2，?3??4． ∵OC=OE． ∴∠2=∠4． ∴∠1=∠3．
又OE?OD，OG?OG，
?△OEG≌△ODG． ??OEG??ODG?90?． ?GE是⊙O的切线．
5、（2010陕西省23）．如图，在RT△ABC中∠ABC=90°，斜边AC的垂直平分线交BC与D点，交AC与E点，连接BE
（1）若BE是△DEC的外接圆的切线，求∠C的大小？ （2）当AB=1,BC=2是求△DEC外界圆的半径
答案：解：（1）∵ DE 垂直平分AC
∴∠DEC=90°
∴DC 为△DEC外接圆的直径 ∴DC的中点 O即为圆心
连结OE又知BE是圆O的切线 ∴∠EBO+∠BOE=90°
在RT△ABC 中 E 斜边AC 的中点 ∴BE=EC ∴∠EBC=∠C 又∵∠BOE=2∠C ∴∠C+2∠C=90° ∴∠C=30° （2）在RT△ABC中AC= 15 AB2?BC2?5 ∴EC=AC=22 ∵∠ABC=∠DEC=90° ∴△ABC∽△DEC ∴
ACBC5? ∴DC= DCEC45△ DEC 外接圆半径为
86、（2010年天津市）（本小题8分）
已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C. （Ⅰ）如图①，若AB?2，?P?30?，求AP的长（结果保留根号）； （Ⅱ）如图②，若D为AP的中点，求证直线CD是⊙O的切线.
B C B C O AB是⊙O的直径，AP是切线，O 答案：解：（Ⅰ）∵ ∴ ?BAP?90?. P A
在Rt△PAB中，AB?2，?P?30?， ∴ BP?2AB?2?2?4.
图①
第（6）题
A D
图②
P 由勾股定理，得AP?BP2?AB2?42?22?23. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 (Ⅱ)如图，连接OC、AC，
∵ AB是⊙O的直径， ∴ ?BCA?90?，有?ACP?90?. 在Rt△APC中，D为AP的中点， ∴ CD?O A
D
P B C 1AP?AD. 2∴ ?DAC??DCA. 又 ∵OC?OA， ∴?OAC??OCA.
∵ ?OAC??DAC??PAB?90?， ∴ ?OCA??DCA??OCD?90?. 即 OC?CD.
∴ 直线CD是⊙O的切线. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
7、（2010山西）．（本题8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经
过点D，E是⊙O上一点，且∠AED＝45o． （1）试判断CD与⊙O的关系，并说明理由．
（2）若⊙O的半径为3cm，AE＝5 cm．求∠ADE的正弦值．
D A B E （第7题）
C
O
8、（2010黄冈）6分）如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线.
2
第8题图
2
答案：证明：连结DC，DO并延长交⊙O于F，连结AF.∵AD＝AB·AE，∠BAD＝∠DAE，∴△BAD∽△DAE，∴∠ADB＝∠E. 又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ACB＝∠E，BC∥DE，∴∠CDE＝∠BCD＝∠BAD＝∠DAC，又∵∠CAF＝∠CDF，∴∠FDE＝∠CDE+∠CDF＝∠DAC+∠CDF＝∠DAF＝90°，故DE是⊙O的切线
9、（2010山东济南）
如图所示，菱形ABCD的顶点A、B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，∠BAD=60°，点A的坐标为(－2，0)．
⑴求线段AD所在直线的函数表达式． ⑵动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A→D→C→B→A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t秒．求t为何值时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切？
y
C D
答案： 解：⑴∵点A的坐标为(－2，0)，∠BAD=60°，P ∠AOD=90°，
∴OD=OA·tan60°=23，
O B A ∴点D的坐标为（0，23）， ····························································· 1分 设直线AD的函数表达式为y?kx?b，
第22题图
x ????2k?b?0?k?3，解得?， ?b?23????b?23∴直线AD的函数表达式为y?3x?23. ········································ 3分 ⑵∵四边形ABCD是菱形， ∴∠DCB=∠BAD=60°， ∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°， AD=DC=CB=BA=4， ········································································· 5分 如图所示： ①点P在AD上与AC相切时， AP1=2r=2， ∴t1=2. ·································································································· 6分