②点P在DC上与AC相切时，
y CP2=2r=2，
P2 D C ∴AD+DP2=6， 2 3 ∴t2=6. ········································ 7分
③点P在BC上与AC相切时，
P1 P3 CP3=2r=2，
∴AD+DC+CP3=10，
1 ∴t3=10. ········································ 8分
4 ④点P在AB上与AC相切时， O P4 B A x AP4=2r=2， ∴AD+DC+CB+BP4=14， 第22题图 ∴t4=14， ∴当t=2、6、10、14时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切. ··························································· 9分
10、（2010山东德州）
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点, 交AD于点G，交AB于点F． （1）求证：BC与⊙O相切；
（2）当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数．
答案：（1）证明：连接OE，------------------------------1分
∵AB=AC且D是BC中点， ∴AD⊥BC． ∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE．------------------------------3分 ∵OA=OE， ∴∠OAE=∠OEA． ∴∠OEA=∠DAE． ∴OE∥AD． ∴OE⊥BC．
∴BC是⊙O的切线．---------------------------6分 （2）∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°．----------------------------7分
A C A D G O E F B C D 第10题图 E G O F B ∴∠EOB =60°．------------------------------8分 ∴∠EAO =∠EAG =30°．-------------------9分 ∴∠EFG =30°．------------------------------10分
11、（2010河北省）23．（本小题满分10分） 观察思考
某种在同一平面进行传动的机械装置如图14-1，图14-2 是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以 左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且 PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研 究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH ⊥l于点H，并测得 OH = 4分米，PQ = 3分米，OP = 2分米．
解决问题
（1）点Q与点O间的最小距离是 分米；
点Q与点O间的最大距离是 分米；
点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间 的距离是 分米． （2）如图14-3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位
置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？ 为什么？
（3）①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l
的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大 的位置，此时，点P到l的距离是 分米； ②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形， 求这个扇形面积最大时圆心角的度数．
答案：解：（1）4 5 6；
（2）不对．
∵OP = 2，PQ = 3，OQ = 4，且42≠32 + 22，即OQ2≠PQ2 + OP2， ∴OP与PQ不垂直．∴PQ与⊙O不相切． （3）① 3；
滑道 滑块 连杆
图14-1
l
H Q
P O 图14-2
l
H （Q）
P O 图14-3
②由①知，在⊙O上存在点P，P?到l的距离为3，此时，OP将不能再向下转动，如图3．OP在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是P?OP．
Q? H Q 连结P?P，交OH于点D．
l
∵PQ，P?Q?均与l垂直，且PQ =P?Q??3，
P? D O P ∴四边形PQQ?P?是矩形．∴OH⊥PP?，PD =P?D．
图3
由OP = 2，OD = OH?HD = 1，得∠DOP = 60°．
∴∠POP? = 120°．
∴ 所求最大圆心角的度数为120°． 12、（2010广东中山）1如图，PA与⊙O相切于A点，弦AB⊥OP，垂足为C，OP与⊙O相交于D点，已知OA=2，OP=4。 （1）求∠POA的度数；
B （2）计算弦AB的长。
O C
D 答案：（1）60° （2）AB?23 P A
第12题图
13、（2010山东青岛市）如图，有一块三角形材料（△ABC），请你画出一个圆，使其与△ABC的各边都相切.
解：
结论：
答案：正确画出两条角平分线，确定圆心； ········ 2分
确定半径； ········ 3分 正确画出圆并写出结论． ········ 4分 14、（2010山东烟台24）如图以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点E。 （1）求证：DE⊥AC；
（2）若∠ABC=30°，求tan∠BCO的值。
A
B C
答案：
15、（莱芜）在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D.
（1）求线段AD的长度；
（2）点E是线段AC上的一点，试问当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由.
A D
B C O 答案：（本小题满分9分）
解：（1）在Rt△ACB中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°，∴AB=5cm． ??1分 （第21题图）连结CD，∵BC为直径，∴∠ADC =∠BDC =90°．
∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴Rt△ADC ∽Rt△ACB．
D （2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切． E ??????5分 证明：连结OD，∵DE是Rt△ADC的中线． B C O ∴ED=EC，∴∠EDC=∠ECD．
∵OC=OD，∴∠ODC =∠OCD． ???????7分 ∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD =∠ACB =90°． ∴ED与⊙O相切． ??????????9分
16、（2010，安徽芜湖）如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB,M是劣弧⌒AB上一点，过点M作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于点N。
（1）求证：PM=PN；
（2）若BD=4,PA=
AC29ACAD??． ??????????4分 ∴，∴AD?ABACAB5A 3AO,过B点作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长． 2
【答案】（1）证明：连结OM,∵ MP是⊙O的切线，∴OM⊥MP ∴∠OMD +∠DMP=90°
∵OA⊥OB，∠OND +∠ODM=90°
∵∠MNP=∠OND, ∠ODN=∠OMD ∴∠DMP=∠MNP ∴PM=PN
（2）解：设BC交OM于E, ∵BD=4, ∴OA=OB=2, ∴PA=∴PO=5
∵BC∥MP, OM⊥MP, ∴OM⊥BC, ∴BE=
3OA=3 21BC 2∵∠BOM +∠MOP=90°,在Rt△OMP中，∠MPO +∠MOP=90° ∴∠BOM=∠MPO.又∵∠BEO=∠OMP=90°
48OMBE2BE ∴?,∴BE= ∴BC= ?OPBO525517、（2010，浙江义乌） 如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是弧AE
1的中点，OM交AC于点D，?BOE?60°，cosC?，BC?23．
2（1）求?A的度数；
（2）求证：BC是⊙O的切线； （3）求MD的长度．
∴△OMP∽△BEO ∴M D A O
B E C
【答案】解：（1）∵∠BOE＝60°
1∴∠A ＝∠BOE ＝ 30°
2（2） 在△ABC中
1∵cosC? ∴∠C＝60°
2又∵∠A ＝30°
∴∠ABC＝90°∴AB?BC ∴BC是⊙O的切线
（3）∵点M是弧AE的中点 ∴OM⊥AE