1. 从傅立叶变换到小波变换的三个阶段： *）信号加窗；**）基加窗；***）小波基； 2. Shannon小波的计算：
*）Shannon采样定理；**）采样定理与尺度函数；***）写出Shannon小波的时域和频域表达式；****）写出两个不同的Shannon小波，并说明它们都是正交小波； 3. 描述MRA；
4. 分析和说明MRA构造正交小波的关键步骤； 5. 说明Haar小波是正交小波(直接或MRA)； 6. Meyer小波的构造方法；
7. 构造Daubechies系列小波中的一个或两个； 8. 说明正交小波包的思想（空间再分割）； 9. 正交小波包的定义； 10.小波包的频域表达形式； 11.小波包的两种正交性； 12.小波空间的小波包再分割；
13.小波算法：分解和合成；矩阵形式； 14.Gabor变换的时-频分析特性； 15.连续小波的时-频分析特性； 16.二进小波的时-频分析特性； 17.正交小波的时-频分析特性； 18.Gabor变换的时-频分析特性； 19.连续小波的时-频分析特性； 20.二进小波的时-频分析特性； 21.正交小波的时-频分析特性； 22.小波包的时-频分析特性；
23.Malvar小波的时-频分析特性； 24.二维小波分析和图像处理； 25.小波采样定理； 26.小波与快速算法； 27.分数傅立叶变换：
*）经典分数傅立叶变换（旋转）； **）加权分数傅立叶变换（置换）； 28.小波变换的数值含义分析； 29.小波变换的工程含义分析；
30.小波变换与局部分析和奇性分析。
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1. 从傅立叶变换到小波变换的三个阶段： *）信号加窗；**）基加窗；***）小波基
从Fourier变换改进的角度去引入小波，并从基的处理去看待小波的发展，可以分为四个阶段（Fourier本身被看作一个阶段）。
⑴ Fourier变换
Fourier变换是一个强有力的数学工具，它具有重要的物理意义，即信号f?x?的Fourier变换
F?????f?x?e?i?xdx
????表示信号的频谱。正是Fourier变换的这种重要的物理意义，决定了Fourier变换在信号分析和信号处理中的独特地位，特别是作为平稳信号分析的最重要的工具。但是，在实际应用中，所遇到的信号大多数并不是平稳的。所以，随着应用范围的逐步扩大和理论分析的不断深入，Fourier变换的局限性就渐渐展示出来了：
首先，从理论上说，为了由Fourier变换研究一个时域信号f?x?的频谱特性，必须获得信号在时域中的全部信息，以致于包括将来的信息；
其次，Fourier变换对信号的局部畸变没有标定和度量能力。但是，在许多实际应用中，畸变正是我们所关心的信号在局部范围内的特征；
再次，Fourier变换不能反映信号在局部时间范围内和局部频带上的谱信息分析，或称为局部化时-频分析，而这正是许多实际应用最感兴趣的问题之一；
最后，因为一个信号的频率与它的周期长度成反比，因而要给进行分析的一个灵活多变的时间和频率的“窗口”，使其在“中心频率(或称为平均频率、主频)”高的地方，时间窗自动变窄，而在“中心频率”低的地方，时间窗应自动变宽。
⑵ 信号加窗
为了提取信号的局部信息，这包括时间和频率两方面的局部信息，Gabor在1946年的论文中，引入了一个时间局部化的“窗口函数”g?t?b?，其中参数b用于平行移动窗口，以便于覆盖整个时域。Gabor变换继承了Fourier变换所具有的“信号频谱”这样的物理解释，同时，它克服了Fourier变换只能反映信号的整体特征而对信号的局部特征没有任何分析能力的缺陷，大大地改进了Fourier变换的分析能力，为信号处理提供了一种新的分析和处理工具，即信号的时-频分析。
从技术、工程上来看待信号加窗。即如果对信号在某一段时间内的谱感兴趣，就采用信号加窗技术，用谱分析技术去分析信号。从本质上来讲是一种工程技巧。这种方法可能在这个问题中有效，在另外的问题中是否有效还是未知数。 ⑶ 基加窗
基加窗变换的表达形式与信号加窗一样，但是蕴含的意义却发生重大的改变。在基加窗变换中对信号没有任何限制，只对分析用的基进行处理（加窗）。反映了对基本处理工具的加工，基加窗可以看成对信号作线性变换，基在有限的范围内有效。它将信号加窗这种技术方法变为了一般的数学方法，应用范围更广，更一般化。 ⑷ 小波基
在前面，对一组基用窗函数作用得到局部化的基，这是不得已而为之。以前，使用Fourier基，应用范围有限，Fourier基的缺点很明显，如Fourier基是严格周期函数，在许多实际问题的处理中，如对某段范围内的信号进行处理，使其缺点表现得更为明显。基加窗的目的使信号限制在分析范围内。在基加窗基础上，对基的处理进一步一般化，将基和窗函数两部分
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看作一个整体，不对基作任何限制，只说明其具有哪些性质。这种方法体现了一般分析问题、解决问题的思想。把复杂的信号投影到结构简单、清晰、且具有一定联系的一组基上。是一种科学思想的体现。
2. Shannon小波的计算：
*）Shannon采样定理；**）采样定理与尺度函数；***）写出Shannon小波的时域和频域表达式；****）写出两个不同的Shannon小波，并说明它们都是正交小波
⑴ Shannon采样定理
设信号f?x??L2?R?，如果存在B>0，使
F????0 ??B a.e.??R
这里F???是f(x)的Fourier变换，则称f(x)是B频率截断的，这时，只要采样间隔???B，信号f(x)按间隔?进行采样就不会损失信息，而且，利用采样序列?f?n?? ; n?Z?可按如下公式构造原信号
sin??1??x?n?? f?x???f?n???1n?Z???x?n??上式称为Shannon插值公式。
⑵ 采样定理与尺度函数
记??x??sin?x???x??，对?频率截断的信号f(x), 总有
f?x???f?n???x?n?
n?Z函数族
???x?n? ; n?Z? 是空间L?R?的标准正交系。同时，
2V0??f?x? ; F????0, ????
是空间L2?R?的闭线性子空间，前述函数族构成子空间V0空间的标准正交基，而空间V0的任意信号都有唯一的表达式。
对于任何整数j，当信号f(x)是2?频率截断时，即
jF????0 ??2j?
那么
sin?2jx?n f?x???f2nj?2x?nn?Z??j?????函数族
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j??sin?2jx?njj2???x?2?2x?n?2? ; n?Z?j,n? j?2x?n????????构成空间
Vj?f?x? ; F????0 , ??2j?
的标准正交基。
Vj ; j?Z?。显然， 这样，随着j取遍所有的整数，就可以得到L2?R?的一系列子空间???随着j的不断增大，子空间Vj对空间L2?R?的逼近越来越“好”，而Vj空间具有前面给出的标准正交基，因此，容易想到的是，让j???构造空间L2?R?的标准正交基，从而得到正
交小波。遗憾的是，这样得不到象正交小波所给出的L2?R?的标准正交基。
⑶ Shannon小波的时域和频域表达式
频域形式为
??????????????????2??0 ??? ? ????2??1 ?0 2??? ?sin?2x???sin?x??
x?在时间域可表示为
??x??2??2x????x??⑷ 写出两个不同的Shannon小波，并说明它们都是正交小波
前面已经给出一种Shannon小波，另外一种Shannon小波为： 频域形式为
?????e时域形式为
?i?2????????e2???? ?2?i?????1??1??sin?2?x???sin??x??????????22??1???1????????? ??x??2???2?x?2??????x?2??1?????????x???2??
3. 描述MRA
设Vj ; j?Z是L2?R?上的一列闭子空间，??x?是L2?R?中的一个函数，如果它们满足如下的五个条件，即
① 单调性:
??Vj?Vj?1, ?j?Z (2.2.1)
② 唯一性:
?Vj?Zj??0? (2.2.2)
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③ 稠密性:
????Vj??L2?R? (2.2.3) ?j?Z?④ 伸缩性:
f?x??Vj?f?2x??Vj?1 ?j?Z (2.2.4)
⑤ 可构造性:
???x?n? ; n?Z? (2.2.5)
构成子空间V0的标准正交基。
那么，称Vj ; j?Z ; ??x?是L2?R?上的一个正交多分辨分析，简记为MRA.
由多分辨分析的定义，容易得到一个重要结果，即函数族
j??j2???x?2?2x?n ; n?Z?j,n? (2.2.6) ????????是Vj空间的标准正交基。
4. 分析和说明MRA构造正交小波的关键步骤
关键步骤一、MRA空间的分解
MRA有一系列子空间，只对其中几个感兴趣：V1、V0、W0。将V1分解为V0、W0，而并非一般的分解为正交子空间的直和，如最简单的将原来的空间分为两块，它满足正交和直和为原来的空间。但是MRA对空间的分解不像上面那么简单，而是有特殊要求。即，对?j?Z，定义的子空间Wj满足
Wj?Vj , Vj+1?Wj?Vj
容易验证，子空间序列Wj ; j?Z具有下述性质：
① ?j?l , Wj?Wl; ② L?R???Wl;
2l?Z??③ ?j?Z, g?x??Wj??g?2x??Wj?1
只要构造出W0的标准正交基，由③得到每一个子空间Wj的标准正交基，从而由②得到空间
L2?R?的标准正交基。
关键步骤二、构造函数??x?，使得函数族???x?k? ; k?Z?是W0的标准正交基
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