⑴ 尺度方程
??x??V0?V1，且V1有标准正交基
序列hn ; n?Z?l2?Z?，使得
?2??2x?n? ; n?Z?，所以，必存在唯一的系数
????x??2?hn??2x?n?
n?Zωω?in????1?in2????1?????2?hne?????hne2???? ???2?2??2n?Zn?Z??2?H(ω)?⑵构造方程
1???????inωhe，??????????? ?n2n?Z?2??2???x??W0?V1，应该存在序列?gn ; n?Z?，使得
??x??2?gn??2x?n?
n?Zωω?in????1?in2????12??????2?gne?????ge??? ?n??22???2n?Zn?Z??2?G(ω)?1???????inωge， ?????G????? ?n2n?Z?2??2?小波函数的构造就转化为寻找相应的序列gn ; n?Z。
??关键步骤三、三个恒等式
⑴ 引理
设函数s?x??L?R?，那么?s?x?n? ; n?Z?构成L?R?的标准正交系，即
22s???n? , s???l????n?l?
的充分必要条件是：
?S???2n???1 a.e.??R
2n?Z2⑵???x?n? ; n?Z?是V0的标准正交基
1??????2n??n?Z22???????????n?????n????2??2?n?Z2??????????????2l???2l??????2l????????????2l??? ???2??2??2??2?n?2ln?2l?1???????2?
2????????2l???????????2??2?n?2l- 6 -
22????????2l????2?n?2l?12
????????????????1 ?2??2?⑶ ???x?k? ; k?Z?是W0的标准正交基 同理可得：G????G??????1
2222⑷ ???
????G??????????G??????0
????n? , ????k??1?in?????e?ik?d???????e2?R2??14?l?1????????????i?n?k??d????4l??????????e2?l?Z?2??2??2?14????????i?n?k??
??ed???????2?0?2??2?12????????????????i?n?k???????????d??????????e??2?0??2??2?22?????关键步骤四、正交小波的充要条件：矩阵????是酉矩阵
???????????????????????????????
??函数族???x?k? ; k?Z?构成W0的标准正交基即??x?成为正交小波的充要条件是，矩阵
????是酉矩阵，即 ?*????????? , a.e.??R
5. 说明Haar小波是正交小波(直接或MRA) ⑴ 直接说明Haar小波是正交小波
? 1 0?x?0.5?h?x????1 0.5?x?1
?0 x??0,1??? 2j 2-jk?x?2-jk?2??j?1???hj,k?x????2j 2-jk?2??j?1??x?2-j?k?1?
? 0 x?2-jk , 2-j?k?1?????对任意(j1,k1),(j2,k2)，有
?hj1,k1,hj2,k2???(j1?j2)?(k1?k2)
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以??j1?j2?0;k1?0,k2?1?j1?j2,j1?0,j2?1;k1?k2?0为例进行验证，如下图所示
?2,0?t?1/4?h0,0(t)?h(t),h0,1(t)?h(t?1),h1,0(t)?2h(2t)???2,1/4?t?1/2
?0,其它??h0,0(t),h0,1(t)???h(t)h(t?1)dt?0?????h0,0(t),h1,0(t)???h(t)h1,0(t)dt?0????
即，函数族
j????j2?hj,k?x??2h2x?k ; ?j,k??Z?Z? ??????构成函数空间L2?R?的标准正交基，所以，Haar函数h(x)是正交小波，称为Haar小波。
⑵从MRA角度说明（见姜维的笔记）
定义函数??t?:
??t???0?t?1?0
其它?1 Vj?fj(t);?k,??k,?fj(t)??k,2?jk?t?2?j(k?1)
具体j=0, V0??f0(t);?k,??k,?f0(t)??????k,k?t?(k?1),??k????
k2??验证五条公理： ①Vj?Vj?1, ?j?Z ②
?Vj?Zj??0?
③这里的闭子空间Vm具有如下的具体表表达形式
?Vm??h?t?; h?t??hk, 2?mk?t?2?m?k?1?, ?k?Z,?hkk?Z?2?????
??m即Vm由能量有限的台阶函数组成，这些台阶函数的跳跃点至多出现在2其中k是任意整数。
④f?x??Vj?f?2x??Vj?1 ?j?Z
⑤函数族???t?k?;k?Z?是标准正交系，从而它必是V0的标准正交基
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k这样的点上，
所以，Vj; j?Z; ??t?是L2?R?上的MRA，这就是Haar的多分辨分析。 双尺度方程是??t??????1?1?2???2t????2t?1??
2?2?因此，h0?h1?111,g1?，所以，g0??，这样得到如下构造方程 2221?1???t??2????2t????2t?1??
22????t?是一个正交小波，容易看出，她与前面的Haar小波函数相差一个符号。构造过程中相
应的低通滤波器是
?????高通滤波器是
11?e?i? 2???????e?i??????而且
1?1?e?i? 2??1?1?e?i????????i?2??1?e是酉矩阵
?1?e?i??? ?i???1?e??*?????????
6. Meyer小波的构造方法
?选取函数?????C0?R?（即只在有限区间范围内取值不为零而且任意次可微函数全体
构成的族）具有如下形式：
2?? 1 0 ????3?2?4????????在?0，1?中 ???
33?4?? 0 ??
?2?????2?2?????1
这时，构造尺度函数为??x????x?是????的Fourier逆变换
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13?ix?????x????ed? 4???2?3则
4??????2n????????2n???1
22n?Zn?Z于是，???x?n?;n?Z?是L2?R?中的标准正交函数族。构造L2?R?中的闭子空间序列
???x?n?;n?Z? V0?Closespan和
Vj?u2jx;u?x??V0
可以证明，Vj;j?Z;??x?是L2?R?上的一个多分辨分析，它就是Meyer的多分辨分析。这时，双尺度方程的频域形式可写成
??????????2???????????, ???
从而，得到低通滤波器的公式
?????相应的高通滤波器为
??2?????2??, ???
?????????e?i????????e?i???2??2??, ???
最后得到Meyer小波的频域形式
??????????????????????e2?????2????
?2??2??2?i??因为?????C0?R?，所以，?????C0??R?。另外还可以证明，对于任意自然数n,
?n?????0??0 ?n??x?xdx?0???R这说明Meyer小波非常光滑而且具有良好的波动特性。这一性质保证了Meyer小波在函数
空间分析和其他一些对光滑性有特殊要求的理论分析中的重要作用。
7. 构造Daubechies系列小波中的一个或两个
例1 选定N?2, Ry?0，这时，P2y?由
?????Cj?01j1?jyj?1?2y，Q2?z??a0?a1z，
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