?2m???n?, ?2m?1???l??12?12?12?12?
??????????i?n?l?????d??1?????e?R0?2??2?m?2????????????0???1???m??e?i?n?l??d?? ?2??2??2?222k????????4??k?1?4k?4?0????????????0???1????m??2k??e?i?n?l??d???2??2?k????2??2?0???????????????i?n?l???????????d??011?????????e0?02222??????????12. 小波空间的小波包再分割
重复使用正交直和分解关系Uj?1?Uj?Uj分解，即对?j?2，Wj有如下正交直和分解
3Wj?U2?j?1?Uj?1 567U4? ? =j?1?Uj?1?Uj?1?Uj?1 m2m2m?1就可得到小波空间的正交小波包直和
U2kj?k?U2k?1j?k? ? ?Ujj2k?1?1j?k ? ? =j?1
U02?U02其中j?1, 1?k?j和 0?m?2k?1?1? ? ?U02?1，而且
U2k?mj?k?Closespan2?j?k2?2k?m2j?kt?l ;l?Z
???以右边的函数族为标准正交基。(24)给出的分解称为完全分解。其实，在具体应用时，在(24)的分解过程中，某些子空间到某一步之后就不再需要分解了，只有一部分需要再分解，这样一来，子空间Wj的可能分割就大大增加了，为时-频分析提供了极大的选择余地。
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图7.小波包变换对应的空间分割及重组关系图
13. 小波算法：分解和合成；矩阵形式
将L2?R?上的多分辨分析记为Vj;j?Z,??t?，尺度方程和构造方程为
???????t??2?hk??2t?k??k?Z ????t??2?gk??2t?k?k?Z?对于任意信号f?t??L?R?，引入记号
2??cj,k??Rf?t??j,k?t?dt ?d?f?t??j,k?t?dt??j,k?R称为f?t?的尺度系数和小波系数，同时，将f?t?在闭子空间Vj和Wj上的正交投影分别记为fj?t?和gj?t?，这样
?fj?t???cj,k?j,k?t??k?Z ?????gt?d?t?j,kj,k?jk?Z?根据空间正交直和分解关系
Vj?1?Vj?Wj
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可得
fj?1?x??fj?x??gj?x?
信号的尺度变换系数和小波变换系数之间的关系现在可以写成
?cl?Zj?1,l?j?1,l?t???cj,k?j,k?t???dj,k?j,k?t?
k?Zk?Z (6.1.8)
第一，若系数?cj?1,k;k?Z?已知，给出计算系数?cj,k;k?Z?和?dj,k;k?Z?的算法，即Mallat分解算法；
为了由cj?1,m;m?Z计算系数cj,n;n?Z和dj,n;n?Z，分别用?j,n?t?和?j,n?t?乘(6.1.8)式两端之后求积分，并利用尺度方程和构造方程的系数公式
????????hl??R??t??1,l?t?dt ?g???t??1,l?t?dt??l?R可以得到Mallat分解公式
?cj,n??hm?2ncj?1,m?m?Z ??dj,n??gm?2ncj?1,mm?Z? (8.1.26)
如果只得到一个有限长度的数字序列比如记为?f?n?;n?0,1,2,...,2N?1?，延拓得到原信号在某一尺度比如2??j?1?下的尺度变换系数：
0?k?2N?1?f?k? (8.2.1) cj?1,k?? k?p?N?1??m,0?m?2N?1,p?Z?f?m? 重复利用分解公式(8.1.24)可以逐步得出尺度分解和小波分解系数列。当正交共轭滤波器的
长度是有限时，有限长度数字信号的尺度变换和小波变换系数列都是有限长度的，而且，每次变换之后，尺度变换系数的个数和小波变换系数的个数都是变换前数据个数的一半。设高低通滤波器的系数分别是?gn;n?2?M,3?M,...,1?和?hn;n?0,1,2,...,M?1?。这样，小波分解公式变成
?cj,0?? h0 h1 h2 h3 ?? hM?2 hM?1 0 ??? 0??cj?1,0??????????cj,1?? 0 0 h0 h1 h2 h3 ??? hM?2 hM?1 0 ? 0?cj?1,1???????
? ? ?????????c?c????j,N?1?? h2 h3 ? hM?2 hM?1 0 ??? 0 h0 h1 ??j?1,2N?1? (8.2.2)
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cg g 0 ? 0 g2?M g3?M ? ???? g?2 g?1??dj,0????????01?j?1,0??dj,1??g?2 g?1 g0 g1 0 ? 0 g2?M g3?M ? g?4 g?3??cj?1,1????????
????????????d????c?j,N?1???0 ?? ??? 0 g2?M g3?M ? g?2 g?1 g0 g1??j?1,2N?1? (8.2.3)
这样，分解公式可以简洁地写成：
?C?j????D?j?????C?j?1? (8.2.8) ??
第二，如果已知系数对cj,k;k?Z和dj,k;k?Z，给出计算系数cj?1,k;k?Z的算法，即Mallat合成算法
用?j?1,m?t?乘(6.1.8)式两端之后求积分，并利用系数公式得Mallat合成公式
??????cj?1,m??hm?2ncj,n?gm?2ndj,n
n?Z??反过来，如果较大尺度下的尺度变换和小波变换系数已经得到，那么，小一级尺度下的尺度变换系数可以如下得到：
?cj?1,0??h0 0 ?? 0 hM?2 hM?4 ??? h2??cj,0????????cj?1,1??h1 0 ?? 0 hM?1 hM?3 ??? h3??cj,1???????h h 0 ?? 0 h h ? h???20?M?2M?44????????h3 h1 0 ?? 0 hM?1 hM?3 ? h5???+ ????????????????????? 0 ???? 0 h ?? h hM?220????????cj?1,2N?1??? 0 ???? 0 hM?1 ?? h3 h1?cj,N?1??????dj,0??g0 g?2 ? ? g?M?2 0 ??? 0 ???????g1 g?1 ? ? g?M?1 0 ??? 0 ??dj,1??? 0 g g ? ? g?? 0 ? 0?0?2?M?2?????? 0 g1 g?1 ? ? g?M?1 0 ? 0??? (8.2.9)
????????????g?2 ? ? g?M?2 0 ??? 0 g1???????g ? ? g????M?1 0 ??? 0 g1??dj,N?1???1
14. Gabor变换的时-频分析特性；
对于函数f?t??L?R?，其Gabor变换定义为
2Gf?b,????f?t?ga?t?b??e?i?xdx (3.1.2)
????其中
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?t2? (3.1.3) ga?t??exp?????2?a?4a?1是Gaussian函数，a?0是固定常数，这个函数被称为“窗口函数”。计算知
?所以
????ga?t?b?db?1 (3.1.4) Gf?b,??db?F??? ??R (3.1.5)
?????(3.1.5)说明，信号f?t?的Gabor变换Gf?b,??对任何a?0在时间t?b的附近使信号f?t?的Fourier变换局部化了，对???R，这种局部化完成的如此之好以致于达到了对F???的精确分解，从而完整地给出了f?t?的频谱的局部信息，这充分体现了Gabor变换在时间域的局部化思想。
Gabor变换是如何实现在频率域的局部化的。为此，引入记号g?a;b,?;t?
g?a;b,?;t??ga?t?b??exp?i?t? (3.1.6)
那么Gabor变换可表示为
Gf?b,????f?t?g?a;b,?;t?dt (3.1.7)
????这个等式可理解为，Gf?b,??是对函数f?t?开了一个形如(6)的窗口，这也是称ga?t?为窗函数的理由。将g?a;b,?;t?的Fourier变换记为G?a;b,?;??，则
2G?a;b,?;???exp?a??????ib????? (3.1.8)
??再由L?R?中Fourier变换的Parseval恒等式，即对?f,g?L?R?总有公式
22f,g?可将(3.1.2)和(3.1.7)变形为
1F,G (3.1.9) 2?Gf?b,???1F,G?a;b,?;???2?1??2????F?exp?a????ib?????d?? (3.1.10)
2????exp??ib??GF??,?b?2?a于是得
???
????f?t?ga?t?b?edt?i?t?ib?1??e?F????g41a?????eib?d? ?a2???- 20 -