(3.1.11)
这说明，对于给定的观测时刻t?b和固定的频率分量???，除常数项????ib??e之外，信a??12号f?t?在t?b具有时间窗函数ga?t?的Gabor变换与信号F???在???具有频率窗函数
g1???的Gabor变换是一致的，即两者给出的信息是一样的。只不过前者是时域形式，而
4a后者是频域形式。这体现了Gabor变换在时域和频域观测的等效性。
另一方面，如果引入记号
H?a;b,?;???G?a;b,?;???则由(3.1.10)知
??ib?????eg1????? (3.1.12)
4aaf,g?a;b,?;???1F,H?a;b,?;?? (3.1.13) 2?即，在时域中用“量具”g?a;b,?;??对信号f?t?的测量与在频域中用“量具”H?a;b,?;??对信号F的测量是一致的。这就是Gabor变换能对信号进行时-频分析的理论依据。
15. 连续小波的时-频分析特性
设小波函数??t?及其Fourier变换????都满足窗口函数的要求，它们的中心和窗宽分别记为E???和????与E???和????，容易验证，对任意的参数?a,b?，连续小波
??a,b??t??及其Fourier变换??a,b????
1?t?b????
a?a???a,b?????1a?ib??t?b??i?t?edt?e??a?? ?????a??aa??都满足窗口函数的要求，它们的中心和窗宽分别为
E??????E???a,b??E???a,b???b?aE?????a和?????? (3.3.1) ???????a???a,b???????a,b???a??因此，连续小波??a,b??t?的时窗是
?b?aE????a????,b?aE????a????? (3.3.2)
频窗是
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?E???????E?????????,??? (3.3.3)
aaa??a??因此，连续小波??a,b??t?的时-频窗是时-频平面上一个可变的矩形
??E???????E?????????,?b?aE????a????,b?aE????a??????? (3.3.4) aaaa?????时-频窗的面积是
2a?????2?????4???????? (3.3.5) a只与小波母函数??t?有关而与参数?a,b?毫无关系，但是，时-频窗口的形状随着参数a而变化，这是与窗口Fourier变换和Gabor变换完全不同的时-频分析特性，正是这一特点决定了小波变换在信号时-频分析中的特殊作用。具体地说，
对于较小的a?0，这时，时间域的窗宽a????随着a一起变小，时窗
?b?a????,b?a?????变窄(为了方便起见假定小波母函数的中心E????0)，主频(中心
频率)
E???变高，检测到的主要是信号的高频成分，由于高频成分在时间域的特点是变化a
迅速，因此，为了准确检测到在时域中某点处的高频成分，只能利用该点附近很小范围内的观察数据，这必然要求在该点的时间窗比较小，小波变换正好具备这样的自适应性； 反过来，对于较大的a?0，这时，时间域的窗宽a????随着a一起变大，时窗
?b?a????,b?a?????变宽，主频(中心频率)E?a??变低，检测到的主要是信号的低频成
分，由于低频成分在时间域的特点是变化缓慢，因此，为了完整地检测在时域中某点处的低频成分，必须利用该点附近较大范围内的观察数据，这必然要求在该点的时间窗比较大，小波变换也恰好具备这种自适应性。这是小波变换作为时-频分析方法的独到之处，也是小波变换的又一迷人之处。
另外，因为函数或者信号f?t?的小波变换
Wf?a,b???f?t???a,b??t?dt (3.3.6)
R实际上提取的是f?t?在时间点t?b附近和频率点??E???附近本质上集中在时-频窗 a??E???????E?????????,?b?a????,b?a??????? aaaa?????中的那部分时-频信息(为了方便起见，假定小波母函数的中心E????0)。所以，从频率域的角度来看，小波变换已经没有象Fourier变换那样的“频率点”的概念，取而代之的则是
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本质意义上的“频带”的概念；从时间域来看，小波变换所反映的也不再是某个准确的“时间点”处的变化，而是体现了原信号在某个“时间段”内的变化情况。具体地说，信号f?t?的小波变换Wf?a,b?自适应地提取原信号在“时间段”b?a????,b?a????内和“频带”
???E???????E?????????,?所以，从信号f?t?到小波变换Wf?a,b?实??内的时-频信息。
aaa???a?际上是把信号在时间域局部化到范围b?a????,b?a????内，而且在频率域局部化到范
???E???????E?????????,?围??内。这体现的正是小波变换所特有的能够实现时间局部aaaa????化同时频率局部化的时-频局部化能力。这在信号故障时间或者故障位置的诊断、图象边缘提取、图象数据压缩、信号滤波等方面都有重要应用。
16.二进小波的时-频分析特性
由于连续小波??a,b??t?的频窗是
?E???????E?????????,??? aaaa????而主频或者中心频率是
E???，显然，随着主频变高即参数a?0的数值变小，自适应地使
a频窗变宽即
????变大，所以，从频率绝对分辨率来说，主频越高则频率分辨率越低，同时，a参数a?0的离散化方式必须满足这样的要求。二进小波变换的离散方式是，将参数a?0离散化为序列aj?2;j?Z，这时，二进小波函数??2?j,b??t?对应的频带是
?j???2?E?????????,2?E?????????? (3.4.3)
jj因此，在一般情况下，频域划分实现如下
j?????2?E?????????,2?E?????????? (3.4.4)
jj??显然，对一般的二进小波??t?，这种划分虽然比连续小波的划分从数目上减少了许多，但仍然还有大量的重复，只有在二进小波??t?的Fourier变换????作为频窗函数满足
E????3???? (3.4.5)
时，频域的二进频带划分
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?0,??????2j?1????,2j?2????? (3.4.6)
j?????才是没有重叠的。这是一种真正的二进划分。相应的分析就是有名的二进小波分析。 因为二进小波变换按频带而不是按频率点的方式处理频域信息，那么，它是怎样描述原信号二进小波变换是用这个频带的中f?t?在频带2j?1????,2j?2????中的信息的呢？实际上，
心频率3?2j????处的“小波谱”Wf2?j,b来描述f?t?在2j?1????,2j?2????中的局部频率信息的，即所谓的以“点”代替“带”的方式。这是二进小波时-频分析的特点。然而，对于数值计算来说，这还不够，因为“小波谱”Wf2?j,b中的参数b应该取遍全部实数域R，所以，对于任何整数j，“小波谱”Wf2?j,b必须按参数b进行重采样或者离散
????????????????问题集中表现为寻找函数空间L?R?的“子空间”?W?2,b?;f?L?R??的一组基或者一
?j化参数b。这个问题或者描述为利用离散数据Wf2,bk;k?Z重建Wf2?j,b，这时，
2?j2f组标架(frame)，而这组基或标架应该由二进小波函数??t?按某种方式表示出来，最后将
Wf?2?j,b?展开成以Wf?2?j,bk?;k?Z为系数的线性组合；或者将这个问题改述为利用
离散数据Wf2,bk;k?Z,j?Z重建Wf?a,b?，进一步由小波反演公式最后重建原始
?j??????信号f?t?，这时，问题表现为寻找函数空间L?R?的基或标架，而将原始信号f?t?表示为
2或展开为以离散数据Wf2,bk;k?Z,j?Z为组合系数的线性组合。第二种解决方案导致正交小波的概念。
???j??
17. 正交小波的时-频分析特性；
考虑到数值计算和理论分析的特殊需要，对二进小波变换处理频域的方式进行时间参数
b的离散化，获得离散数据Wf2?j,bk;k?Z,j?Z，为了保证原始信号域和变换域分析
的一致性，当然应该要求离散后获得的数据Wf2,bk;k?Z,j?Z按某种方式可以完全重建信号的小波变换Wf?a,b?或者原始信号f?t?本身。由第一章的介绍我们知道，最完美的一种解决方案就是正交小波分析。即选择小波??t?，使函数族
j??j2?????t?2?2t?k;j,k?Z?Z?j,k? ?????????j????生成函数空间L?R?的标准正交基，这时，称??t?为正交小波，而这个函数族称为L?R?的
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标准正交小波基。在这里，时间中心参数b的离散化是与尺度参数a的离散化有联系的，具体地说，对任意整数j，当尺度参数aj?2?j时，时间中心参数bk?2?jk，k?Z，与此相应，频域中的“频带”是2j?1????,2j?2????，而且对应于时间域上的就是函数空间
??L2?R?上的闭子空间
??j,k?t?;k?Z? Wj?Closespan而且，与频域中互不相交的频带分割公式(3.4.6)相对应的是时间域中函数空间L2?R?的正交闭子空间分解
L2?R???Wj (3.4.7)
j?Z只有在这时，信号的时-频分析才具有明确的时域空间再分割的意义。正交小波分析显得异
常的简单明了，信号分析过程的物理意义和数学意义同时都显得很清晰。另一方面，将函数空间L2?R?的正交闭子空间分解的思想分别用于闭子空间Wj，就产生了正交小波包的频域再分割理论。这在后面将得到充分的讨论。
在正交小波分析的特殊情况下，原始信号的小波变换结果就是在离散二进网格点
??2上的“正交小波谱”
f?j,2?jk?; j,k?Z
??W?2?j,2?jk?; j,k?Z
?利用小波谱对原始信号的重建公式就是类似于Fourier级数的正交小波级数
f?t????Wf2?j,2?jk?j,k?t? (3.4.8)
j?Zk?Z??其中?j,k?t??2?2t?k, j,k?Z，是由正交小波??t?产生的在各种不同尺度下中心在
jj2??不同网格点处的再生正交小波，它们代表了一切可能的“基本单元”或者“时-频原子”，从“时-频原子分解”的观点来看，公式(40)说明，正交小波分析对应的时-频分析实质上是实现函数空间L?R?中任何信号“时-频原子分解”的一种有效途径。
2
18. 小波变换的数值含义分析（姜微的笔记）
19 alvar小波的时-频分析特性；
前面已经从一般的形式介绍了时-频分析小波，这里只简单介绍以H.Malvar的名字命名的特定的时-频小波。在这里，我们从小波变换的角度来分析前面已经详细讨论过的Gabor变换。这时，所用的连续小波就是Gabor的时-频小波
???,b??t??g??t?b?ei?t
它的基本特征是，将一个谐波ei?t按照时间参数b分割成许多段，每次只保留一个小段，而
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