第二节 排列与组合
排列与组合
(1)理解排列、组合的概念．
(2)能利用计数原理推导排列数公式、组合
数公式．
(3)能解决简单的实际问题．
知识点一 排列与排列数 1．排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中任意取出m个元素的一个排列．
2．排列数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作Amn. 3．排列数公式及性质 (1)排列数公式
Amn＝n(n－1)(n－2)?(n－m＋1)＝(2)性质
n
①An＝n！；
n！
(m，n∈N*且m≤n)
?n－m?！
②0！＝1. ?
易误提醒 (1)计算Amn时易错算为n(n－1)(n－2)?(n－m)．
(2)易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数是一件事，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数．
[自测练习]
1．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有( )
A．24种 B．60种 C．90种
D．120种
3
解析：可先排C、D、E三人，共A5种排法，剩余A，B两人只
有一种排法，由分步乘法计数原理满足条件的排法共A35＝60(种)．
答案：B
3222．方程3Ax＝2Ax＋1＋6Ax的解为________．
解析：由排列数公式可知
3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)， ∵x≥3且x∈N*，
∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)， 2
即3x－17x＋10＝0，解得x＝5或3(舍去)，
2
∴x＝5. 答案：5
知识点二 组合与组合数 1．组合
从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作Cmn.
3．组合数公式及性质 (1)组合数公式
m
n?n－1???n－m＋1?Anm
Cn＝Am＝
m！m
n！
＝. m！?n－m?！(2)性质 ①C0n＝1. ②Cm. n＝Cn
m－1③Cm＋C＝Cmnnn＋1.
n－m
?易误提醒 易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的
元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．
?
必备方法 排列问题与组合问题的识别方法： 排列 识别方法 若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取元素顺序有关 若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取元素顺序无关 [自测练习] 33．若An＝6C4n，则n的值为________．
组合 n！n！34解析：因为An＝6Cn，所以＝6×，所以n
?n－3?！?n－4?！×4！－3＝4，所以n＝7.
答案：7
4．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．
12
解析：第一类，含有1张红色卡片，不同的取法C4C12＝264种． 3第二类，不含有红色卡片，不同的取法C312－3C4＝220－12＝208
种．
由分类加法计数原理知，不同的取法共有264＋208＝472种． 答案：472
考点一 排列问题|
1．室内体育课上王老师为了丰富课堂内容，调动同学们的积极性，他把第四排的8名同学请出座位并且编号为1,2,3,4,5,6,7,8.通过观察这8名同学的身体特征，王老师决定，按照1,2号相邻，3,4号相邻，5,6号相邻，而7号与8号不相邻的要求站成一排做一种游戏，则有________种排法．(用数字作答)
解析：把编号相邻的3组同学每两名同学捆成一捆，这3捆之间
3
有A3＝6(种)排序方法，并且形成4个空当，再将7号与8号插进空2当中，有A4＝12(种)插法，而捆好的3捆中每相邻的两名同学都有2A2＝2(种)排法．
所以不同的排法种数为23×6×12＝576. 答案：576
2．6名同学排成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有________种不同站法．
解析：法一：(位置分析法)先从其他5人中安排2人站在最左边
和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：
2
第1步，从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边，有A5种
站法；
4第2步，余下4人(含甲)站在剩下的4个位置上，有A4种站法． 24由分步乘法计数原理可知，共有A5A4＝480(种)不同的站法．
法二：(元素分析法)先安排甲的位置(既不站在最左边又不站在最右边)，再安排其他5人的位置，分为两步：
1第1步，将甲排在除最左边、最右边外的任意位置上，有A4种
站法；
5第2步，余下5人站在剩下的5个位置上，有A5种站法． 15由分步乘法计数原理可知，共有A4A5＝480(种)不同的站法．
法三：(间接法)6人无限制条件排队有A66种站法，甲站在最左边
5
或最右边时6人排队有2A5种站法，因此符合条件的不同站法共有65A6－2A5＝480(种)．
答案：480
3．(2016·甘肃模拟)用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为________．
解析：首先应考虑“0”，当0排在个位时，有A29＝9×8＝72(个)，
112当0不排在个位时，有A4A8＝4×8＝32(个)．当不含0时，有A1A84·
＝4×7×8＝224(个)，由分类加法计数原理，得符合题意的偶数共有72＋32＋224＝328(个)．
答案：328
求解排列问题的常用方法
(1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算．
(2)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位