置．
(3)捆绑法：相邻问题捆绑处理的方法，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列．
(4)插空法：不相邻问题插空处理的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中．
(5)分排问题直排处理的方法．
(6)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法．
(7)定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列．
考点二 组合问题|
(1)某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生
组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为( )
A．85 C．91
B．86 D．90
(2)在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为________．(结果用最简分数表示)
[解析] (1)法一：(直接法)由题意，可分三类考虑：
221
第1类，男生甲入选，女生乙不入选，则方法种数为C13C4＋C3C4
3
＋C3＝31；
221
第2类，男生甲不入选，女生乙入选，则方法种数为C14C3＋C4C3
3
＋C4＝34；
11
第3类，男生甲入选，女生乙入选，则方法种数为C2＋C34C3＋
C24＝21.
所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31＋34＋21＝86.
法二：(间接法)从5名男生和4名女生中任意选出4人，男、女
44生都有的选法有C49－C5－C4＝120(种)；男、女生都有，且男生甲与4女生乙都没有入选的方法有C4－C所以男生甲与女生乙至74＝34(种)．
少有1人入选的方法种数为120－34＝86.
C211727
(2)所取的2瓶都是不过保质期的饮料的概率为C2＝145，则至少
30
11728
取到1瓶已过保质期饮料的概率为1－145＝145.
28
[答案] (1)B (2)145
组合问题的常见题型
(1)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．
(2)“至少”“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
1．现有10个优秀指标分配给6个班级，每个班至少一个，共有________种不同的分配方法？
解析：从结果入手，理解相同元素的分堆问题，设计“隔板法分
堆”，将一种分配方法和一个组合建立一一对应关系，实际问题化归为组合数求解．该事件的实质为将10个相同的元素分成6堆，每一堆至少一个元素，利用“隔板法分堆”，即在10个相同元素构成的
5
9个空中插入5个隔板，其不同的分配方案有C9＝126(种)．
答案：126
考点三 分组分配问题|
按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方
式？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本； (3)平均分成三份，每份2本；
(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本； (5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；
(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本； (7)甲得1本，乙得1本，丙得4本． [解] (1)无序不均匀分组问题．
12
先选1本，有C6种选法；再从余下的5本中选2本，有C5种选
法；最后余下3本全选，有C33种选法．
123故共有C6C5C3＝60(种)．
(2)有序不均匀分组问题．
由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)题的基础上，还应考虑
233
再分配，共有C1C65C3A3＝360(种)．
(3)无序均匀分组问题．
22
先分三步，则应是C26C4C2种方法，但是这里出现了重复．不妨
记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一步取了AB，第二步取了CD，
222
第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则C6C4C2种分法中
还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，
3AB)，(EF，AB，CD)，共有A33种情况，而这A3种情况仅是AB，CD，22
C2C64C2
EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有A3＝
3
15(种)．
(4)有序均匀分组问题． 在(3)的基础上再分配给3个人，
422C6C4C23222
共有分配方式A3·A3＝C6C4C2＝90(种)．
3
11
C46C2C1
(5)无序部分均匀分组问题．共有A2＝15(种)．
2
(6)有序部分均匀分组问题． 在(5)的基础上再分配给3个人，
411C6C2C13
共有分配方式A2·A3＝90(种)．
2
1(7)直接分配问题，甲选1本有C6种方法，乙从余下5本中选11114
本有C5种方法，余下4本留给两种C4共有C6·C5C4＝30(种)． 4种方法，
解决分组分配问题的策略
(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Ann(n为均分的组数)、避免重复计数．
(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．
(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中
元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
2．(2016·内江模拟)某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为( )
A．144 B．72 C．36
D．48
解析：分两步完成：第一步将4名调研员按2,1,1分成三组，其
11
C24C2C13
分法有A2；第二步将分好的三组分配到3个学校，其分法有A3种，
2
11
C24C2C13
所以满足条件的分配方案有A2·A3＝36种．
2
答案：C
29.模型法巧解排列组合问题
【典例】 把20个相同的球全部装入编号分别为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不小于其编号数，则共有________种不同的放法．
[思路点拨] 本题可先向1,2,3号三个盒子中分别装入0,1,2个球，再将剩下的17个球随意分成三份装入盒子中即可．
[解析] 题目有限制条件，不能直接运用隔板法，但可转化为隔板问题，向1,2,3号三个盒子中分别装入0,1,2个球后，还剩余17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有C216＝120(种)不同的放法．
[答案] 120
[方法点评] 排列与组合的根本区别在于是“有序”还是“无序”，