???1/2(S2z)??1/2(S1z)??1/2(S1z)??1/2(S2z)= 0
?(1)?(3)S?S?12[?1/2(S1z)?1/2(S2z)]?? ?[?1/2(S1z)??1/2(S2z)???1/2(S1z)?1/2(S2z)]?1 2[??1/2(S2z)??1/2(S1z)?1/2(S1z)??1/2(S2z)? ???1/2(S2z)??1/2(S1z)??1/2(S1z)?1/2(S2z)] ?12[??1/2(S2z)??1/2(S2z)?0]= 0 同理可证其它的正交归一关系。
?(3)?(3)1S?S?2[?1/2(S1z)??1/2(S2z)???1/2(S1z)?1/2(S2z)]???[?1/2(S1z)??1/2(S2z)???1/2(S1z)?1/2(S2z)] ?12[?1/2(S1z)??1/2(S2z)]?[?1/2(S1z)??1/2(S2z)] ?12[?1/2(S1z)??1/2(S2z)]?[?1/2(S2z)??1/2(S1z)] ?1[??21/2(S2z)??1/2(S1z)][?1/2(S1z)??1/2(S1z)] ?12[?1/2(S2z)??1/2(S1z)]?[?1/2(S2z)??1/2(S1z)]
?12?0?0?12?1 12 对于无限深势阱中运动的粒子（如图所示）证明
x?a2a262 （x?x）?12（1?n2?2）
并证明当n??时上述结果与经典结论一致。 [解]写出归一化波函数：
?2n?xn?x??asina （1） 先计算坐标平均值：
x??a?2xdx??a2asin2n?x00axdx?1a?（a2n?x01?cosa）xdx 利用公式：
?xsinpxdx??xcospxp?sinpxp2 2） （得
?xcospxdx??2xsinpxcospx （3） ?2pp2ax?1x?a?2n?x?a?2n?xa????? ?xsin?cosa2?2n??aa2?2n??02计算均方根值用（x?x）?x2?x，x以知，可计算x2
??22n?x1a22n?xx???x2dx??x2sin2dx??x（1?cos）dx
00aaaa2a2利用公式
2?xcospxdx?1221xsinpx?2xcospx?3sinpx （5） pppa22??11aa2n?xa2n?x???? x2?x2??x2??????sin??2xcosa32n?2n?a2n?a????????0a2a2? ? 32n2?2a2a2?a?（x?x）?x?x??22???
32n??2?22??22a2a2? ? （6） 122n2?2 在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0，a）范围中运动，各点的几率密度看作相同，由于总几率是1，几率密度??1。 ax???xdx??0aa01axdx? a2x??2a012a2xdx? a32a2a2?a?（x?x）?x?x??22???
32n??2?2??22故当n??时二者相一致。
13 设?q,p??ih,f(q)是q的可微函数，证明下述各式：[一维算符] （1）q,pf(q)?2hipf.
（证明）根据题给的对易式及?q,f(q)??0;
?2??q,pf??qp22f?p2fq?qp2f?p2qf
?qppf?p(pq)f?qppf?p(qp?ih)f
?(qp?pq?hi)pf?2hipf
（2）[q,pf(q)p]?ih(fq?pf)
（证明）同前一论题
[q,pfp]?qpfp?pfpq?qpfp?pf(qp?hi) ?qpfp?pfpq?hipf?qpfp?pqfp?hipf ?(qp?pq)fp?hipf?hi(fp?pf)
（3）[q,f(q)p2]?2ihfp
[证明]同前一题论据：
[q,fp2]?qfpp?fppq?fqpp?fppq
?fqpp?fp(qp?hi)?fqpp?fpqp?hifp ?f(qp?pq)p?hifp?2hifp
（4）[p,pf(q)]?2h2ipf i[证明]根据题给对易式外，另外应用对易式
[p,f(q)]?hidff (fi)? idq[p,p2f]?p2f?p2fp?p2(pf?fp)
?p2[p,f]?h2ipf i（5）[p,pf(q)p]?hipfp i（证明）论据同（4）：
[p,pfp]?p2fp?pfp2?p(pf?fp)p
?hipfp i（6）[p,f(q)p]?2hi2fp i（证明）论据同（4）：
[p,fp2]?pfp2?fp2?(pf?fp)p2?hi2fp i14 设算符A，B与它们的对易式[A，B]都对易。证明
(甲法）递推法，对第一公式左方，先将原来两项设法分裂成四项，分解出一个因式，再次分裂成六项，依次类推，可得待证式右方，步骤如下：
按题目假设
重复运算n-1次以后，得
15 证明
是厄密算符
证明）本题的算符可以先行简化，然后判定其性质
是厄密算符，因此原来算符也是厄密的。 另一方法是根据厄密算符的定义：
用于积分最后一式： 前式=
说明题给的算符满足厄密算符定义。
?,B?B?（反对易式）证明： ?]?A??B?A16 定义[A??,B?]?A?[B?]?[B?]A??C?[A?,B?,C?]B?C?,C?,C?]?[A? [A?????B?,b?]??A [a1?][A?][A?,B?,B?]?1[a?] ?,b?,b[a??22?与A?，B?对易。 ?，b其中a?B??A?C?B?A??C?B??C?A?B?B??A?C?B?A?B?C??B?C?A??C?A??C? （证明）第一式等号右方?A?B??B?A??[A?,B?] ?C?C?C ?A ＝第一式等号左方 第二式等号右方?
1??????1???????b?ba?)(AB?BA)?(a?b?ba?)(AB?BA) (a22?1????B?a?a?A?B?a?a??b?B??a?B??b?B?) ?A??b?A??a?A??b?A?bAB?a?b?A?B?b?b?A?B(a2?A?a?B? ??b?A?b?B ?a?与A?A?，a?，B??A?b?对易，b??B?a?，b?B? 因a?B?B?B?b??[a?,b??b?a?] ?A?A?A 前式?a?（不显含t）的平均值对时间的二次微商为： 17 证明力学量Ad2?,H?],H?] （H?是哈密顿量） A??[[A ?2dt2? 不显含t，有 （解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量A
dA1???[A,H] （１） dti?