由 x?k?1?[kk?1?k?1??k?1] 22*?ndx??mn ??m xmk?1?[kk?1?m,k?1??m,k?1] 22 ?m?k?1时， xmk?0 即选择定则为 ?m?m?k??1
20 一维无限深势阱(0?x?a)中的粒子受到微扰
a?x2? (0 ? x ?)??a2 H?(x)??
a?2?(1?x) ( ? x?a)?a2?作用，试求基态能级的一级修正。
解：基态波函数（零级近似）为
(0) ?1?2?sinx ( 0 ? x?a) aa(0) ?1?0 (x?0, x?a)
∴能量一级修正为
(0)(0)*H??1dx E1(1)???12a/2x2ax?2???2?(1?)si2nxdx ??2?sinxdx a0aaaa/2aaa2?a/22?2??2[?x(1?cosx)dx?a?(1?cosx)dxa/2aaa0
a2? ? ? x(1?cosx)dx]a/2a2?12a2?a22?a/3?2[(x?xsinx?sinx)?a(x?022?aaa4?2 2a2?1a2?a2?aa ? sinx)a/2(x2?xsinx?cosx)]a/22?a22?aa4?22?12a2a212a2??(a?)] ?2[a?28a82?22?2 ?2?a2a212a2(4??2)??(2??2)
21 求在自旋态?1(Sz)中，S?和S?的测不准关系： 2xy (?Sx)2(?Sy)2??
解：在S?z表象中?1(S2z)、S?x、S?y的矩阵表示分别为 ????1???? S???01?0?i?1(S2z)??0?x2???10???? Sy???2???i0???∴ 在?1(S2z)态中
S???01?x??1S???1??2x?1?(1 0)?22??10????0???0 S2???20102x1S?x? 0)????????1??1??1?(12??10????222??10????0????4 (?S222?2x)?Sx?Sx?4 S??1?2Sy???0?i??1?y?12?(1 0)2???i0??????0????0 S2?????0?i???0?i?y1S?y?12?(1 0)2??i0?2??i0????1??0???22?2???????4 2(?S2y)?S2?S2??yy4 (?S22?4x)(?Sy)?16
讨论：由S?x、S?y的对易关系 [S?x，S?y]?i?S?z ?22要求(?S22Sz?4x)(?Sy)?4
(?S22x)(?Sy)?16 在??1(S2z)态中，Sz?2 ①
?4 ∴ (?Sx)(?Sy)?
1622可见①式符合上式的要求。
01????0?i?????????22 求S的本征值和所属的本征函数。 及S?xy????2?10?2??i0??的久期方程为 解：Sx??
?2?2?0 ?2?(?)2?0?????
22???的本征值为??。 ∴ Sx2设对应于本征值
?a1??的本征函数为 ?1/2???b?? 2?1?????? ，得 由本征方程 Sx1/21/22??01??a1???a1???????? ??????bb2?10??1?2?1??b1??a1? ? ? ?? b ?a1 1 ? a ???b?? ??1??1?由归一化条件 ?1?/2?1/2?1，得
a**?1?(a1,a1)??a???1 ?1?即 2a1?1 ∴ a1?212 b 1 ? 12
对应于本征值
?1?1???的本征函数为 ?1/2? ??22?1??a2???设对应于本征值?的本征函数为 ??1/2???? b2?2??a2????????由本征方程 S x?1/2?1/2???2?b2??b2???a2?? ??a??????b???b2??a2
?2??2?由归一化条件，得
?a2? (a,?a)???a???1
?2?*2*2即 2a22?1 ∴ a2?12 b 2 ? ?12
对应于本征值??1?1??的本征函数为 ??1/2???1?? 22???的本征值为??。其相应的本征函数分别为 同理可求得Sy2??121?1?1?1????? ???1????22?i?2??i?23 求自旋角动量(cos?,cos?,cos?)方向的投影
??S?co??co??co? Ss?Ss?Ss nxyz本征值和所属的本征函数。
?有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出 在这些本征态中，测量Sz?的平均值是多少？ 现？Sz? 表象，S?的矩阵元为 解：在Szn01???0?i???10???????????Scos??cos??cos? n??????10i00?12?2?2????cos????Sn??2?cos??icos?其相应的久期方程为
cos??icos??? ??cos???(cos??icos?)22?cos???2?(cos??icos?)2?0
??cos???2?2?22cos??(cos2??cos2?)?0 即：??44?2???0 (利用cos2??cos2??cos2??1)
42?? ???
2?的本征值为??。 所以Sn2设对应于Sn??a???的本征函数的矩阵表示为?1(Sn)??，则 ??22?b?cos??icos???a???a?????b???2??b?? ?cos??????cos????2??cos??icos??a(cos??icos?)?bcos??b
b?cos??icos?
1?cos?由归一化条件，得
?a?22? 1??1??1?(a*,b*)??a?b?b?22??cos??icos?2a?a?1
1?cos?2222a?1
1?cos?取 a?1?co?sco?s?ico?s ，得 b? 22(1?co?s)?1?cos????1? ?1(Sn)???cos??icos??2??2(1?cos?)???(Sn)?121?cos?2?1?cos??icos???0???2(1?cos?)???0???1?????1?cos?cos??icos??1??122(1?cos?)?22