将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量
1??[A,H]的平均值，则有： i?d2A11???1????[[A,H],H]??[[A,H],H] （２） i?i?dt2?2此式遍乘?即得待证式。
218 试证明：一维运动的束缚态都是不简并的。
'证明：设?1和?2是对应于同一能级E的不同本征态，则?1?2??2?1'?常数。在'特例下，令?1?2??2?1'?0，即
'?1'?2 ??1?2'?1'?2??1dx???2dx?C
由此得：?1?C'?2
所以?1和?2描述同一个态。
19 证明泡利矩阵满足关系?x?y?z?i。
【证】.
20 试在一维情况下证明哈密顿算符是厄米算符。
证明：考虑一维情况
为厄密算符, 为厄密算符,
为实数
为厄密算符 为厄密算符
21 已知轨道角动量的两个算符 和 共同的正交归一化本征函数完备集为 也是
和
共同本征函数, 对应本征
,取 值分别为:
试证明:
。
证
。
是 的对应本征值为
的本征函数
22
是 的对应本征值为 的本征函数
22 证明：描写全同粒子体系的波函数的对称性不随时间改变 证明：设t时刻波函数是对称的，用?S表示，
?是对称的，所以H??在t时刻也是对称的， 因为HS由
i???S?? ?HS?t知，
??S在t时刻也是对称的，故在下一时刻的态函数： ?t??Sdt也是对称的 ?t?S?以此类推，波函数在以后任意时刻都是对称的。
同理可证，若某一时刻波函数反对称，则以后任一时刻的波函数都是反对称的。
三、 计算题
1 由下列定态波函数计算几率流密度：
11r(2)?2?e?ikr (1)?1?eik
rr 从所得结果说明?1表示向外传播的球面波，?2表示向内(即向原点) 传播的球面波。
?? 解：J1和J2只有r分量
???1??1?在球坐标中 ??r0?e? ?e??rr??rsin????i?**(1) J1?(?1??1??1??1)2mi?1ikr?1?ikr1?ikr?1ikr? ?[e(e)?e(e)]r02mr?rrr?rr i?111111? ?[(?2?ik)?(?2?ik)]r02mrrrrrr?k??k? ?r?r203mrmr?? J1与r同向。表示向外传播的球面波。
?i?**(2) J2?(?2??2??2??)2mi?1?ikr?1ikr1ikr?1?ikr? ?[e(e)?e(e)]r02mr?rrr?rri?111111?
?[(?2?ik)?(?2?ik)]r02mrrrrrr?k??k? ??2r0??3rmrmr?? 可见，J2与r反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。
2 一粒子在一维势场
??，x?0? 0?x?a U(x)??0，??，x?a?中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：U(x)与t无关，是定态问题。其定态S—方程
?2d2?(x)?U(x)?(x)?E?(x) ?22mdx 在各区域的具体形式为
?2d2 ??1(x)?U(x)?1(x)?E?1(x) ① Ⅰ：x?0 2mdx2?2d2?2(x)?E?2(x) ② Ⅱ： 0?x?a ?2mdx2?2d2 ??3(x)?U(x)?3(x)?E?3(x) ③ Ⅲ：x?a 22mdx由于(1)、(3)方程中，由于U(x)??，要等式成立，必须
?1(x)?0 ?2(x)?0 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
d2?2(x)2mE?2?2(x)?0 方程(2)可变为2dx?
令k2?2mE，得 2?d2?2(x)2?k?2(x)?0 2dx 其解为 ?2(x)?Asinkx?Bcoskx ④ 根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得 ?2(0)??1(0) ⑤
?2(a)??3(a) ⑥
⑤ ?B?0 ⑥ ?Asinka?0
?A?0 ?sinka?0 ?ka?n? (n?1, 2, 3,?) ∴?2(x)?Asin 由归一化条件 得 A2n?x a??(x)dx?1
2??a2sin0n?xdx?1 a