把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=
5?1AB?0.618AB 2（1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 如图：a∥b∥c，直线l1与l2分别与直线a、b、c相交与点A、B、C ABDEABDEBCEF?,?,? BCEFACDFACDF（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
ADAEADAEDEDBEC?,??,?如图：△ABC中，DE∥BC，DE与AB、AC相交与点D、E，则有： DBECABACBCABACl lAEDADa Ab BEDE cFC BBCCo＊18、直角三角形中的射影定理：如图：Rt△ABC中，∠ACB＝90，CD⊥AB于D，则有： CD、E、F，则有
12（1）CD2?AD?BD（2）AC2?AD?AB（3）BC2?BD?AB 19、圆的有关性质：
ADB（1）垂径定理：如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质：①经过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧，那么这条直线就具有另外三个性质．注：具备①，③时，弦不能是直径．（2）两条平行弦所夹的弧相等．（3）圆心角的度数等于它所对的弧的度数．（4）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（5）圆周角等于它所对的弧的度数的一半．（6）同弧或等弧所对的圆周角相等．（7）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．（8）90o的圆周角所对的弦是直径，反之，直径所对的圆周角是90o，直径是最长的弦．（9）圆内接四边形的对角互补． 20、三角形的内心与外心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心．三角形的内心就是三内角角平分线的交点．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心．三角形的外心就是三边中垂线的交点． 常见结论：（1）Rt△ABC的三条边分别为：a、b、c（c为斜边），则它的内切圆的半径r?a?b?c； 21（2）△ABC的周长为l，面积为S，其内切圆的半径为r，则S?lr
2＊21、弦切角定理及其推论：
（1）弦切角：顶点在圆上，并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图：∠PAC为弦切角。
（2）弦切角定理：弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半。 B
11A AC??AOC 如果AC是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，A为切点，则?PAC??O 22推论：弦切角等于所夹弧所对的圆周角（作用证明角相等）
如果AC是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，A为切点，则?PAC??ABC C P
＊22、相交弦定理、割线定理、切割线定理：
相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。 如图①，即：PA2PB = PC2PD 割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。 如图②，即：PA2PB = PC2PD
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。如图③，即：PC2 = PA2PB C PBO D A ①
24、面积公式：
①S正△＝3(边长)2． ②S平行四边形＝底3高．
③S菱形＝底3高＝3(对角线的积)，④S圆＝πR2． ⑤l圆周长＝2πR． ⑥弧长L＝
S扇形S梯形?1(上底?下底)?高?中位线?高2
COADBPCOABP② ③
．
⑦
n?r21??lr3602
⑧S圆柱侧＝底面周长3高＝2πrh，S全面积＝S侧＋S底＝2πrh＋2πr2 ⑨S圆锥侧＝3底面周长3母线＝πrb， S全面积＝S侧＋S底＝πrb＋πr2
点的轨迹 集合：
圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹：
1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线
三种位置关系 点与圆的位置关系 Ad点在圆内 d BdC 点在此圆外 d>r 点A在圆外 直线与圆的位置关系 ? 直线与圆相离 d>r 无交点 ? 直线与圆相切 d＝r 有一个交点 ? 直线与圆相交 d rdd=rrd 圆与圆的位置关系 ? 外离（图1） 无交点 d>R+r ? 外切（图2） 有一个交点 d＝R+r ? 相交（图3） 有两个交点 R-r dR图1rdR图2rdR图3图4 dRdrrRr垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出 其它3个结论，即： ①AB是直径 ②AB⊥CD ③CE＝DE ④ 弧BC＝弧BD ⑤弧AC＝弧AD ①② ? ③④⑤或①③ ? ②④⑤或?? C 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 O 即：在⊙O中，∵AB∥CD A ∴弧AC＝弧BD 图5 AOECBDDBEFODAC圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论 也即：①∠AOB＝∠DOE ②AB＝DE ③OC＝OF B ④弧AB＝弧DE ① ? ②③④或② ? ①③④?? 圆周角定理 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：∵∠AOB和∠ACB是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB＝2∠ACB CBOA圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 即：在⊙O中，∵∠C、∠D都是所对的圆周角 ∴∠C＝∠D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 即：在⊙O中，∵AB是直径 或∵∠C＝90° ∴∠C＝90° ∴AB是直径 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 即：在△ABC中，∵OC＝OA＝OB ∴△ABC是直角三角形或∠C＝90° 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 BO 弦切角定理 弦切角定理：弦切角等于所夹弧所对的圆周角 推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。 即：∵MN是切线，AB是弦 ∴∠BAM＝∠BCA N 圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙O中， ∵四边形ABCD是内接四边形 ∴∠C+∠BAD＝180° B+∠D＝180° ∠DAE＝∠C 切线的性质与判定定理 （1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 DCBOACBOACACOBAMCDBAEOMAN 即：∵MN⊥OA且MN过半径OA外端 ∴MN是⊙O的切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心 ②过切点 ③垂直切线 中知道其中两个条件推出最后一个条件 P ∵MN是切线 ∴MN⊥OA 切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵PA、PB是的两条切线 ∴PA＝PB PO平分∠BPA 相交弦定理 圆内相交弦定理及其推论： （1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等 即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P ∴ PA2PB＝PC2PA （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 即：在⊙O中，∵直径AB⊥CD ∴ CE＝DE＝EA2EB （3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 即：在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线 ∴ 2?PC?PBPA（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与 P圆的交点的两条线段长的积相等（如上图） 即：在⊙O中，∵PB、PE是割线 ∴ PC2PB＝PD2PE 两圆公共弦定理 圆公共弦定理：连心线垂直平分公共弦 即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点 O1 ∴O1O2垂直平分AB 圆的公切线 两圆公切线长的计算公式： A（1）公切线长：在Rt△O1O2C中， C （2）外公切线长：CO2是半径之差； O2 内公切线长：CO2是半径之和 圆内正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙O中 △ABC是正三角形，有关计算在Rt△BOD中进行，OD:BD:OB1:3:2＝ BOABOPCADCBOEDAADOCBEAO2BBO1AB2?CO12?O1O22?CO22