（ ）。 (A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①②③
????解析：对于①“如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a,b的关系一定共线”；
所以①错误。②③正确。 题型2：空间向量的基本运算
例2、如图：在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，MD1MB1C1为
A1C1与
???????????????B1D1的交点。若AB?a，AD?b，AA1?c，则
BM相等的向量是（ ）
AA1下列向量中与
DCB1?1??1?1??1?1??11b?c (B)a?b?c (C)?a?b?c (D)a?b?c (A)?a?222222221?1??解析：显然BM?BB1?B1M?(AD?AB)?AA1??a?b?c；答案为A。
2221点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几
何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力。
?????????????例3、已知：a?3m?2n?4p?0,b?(x?1)m?8n?2yp,且m,n,p不共面.若a∥b,求x,y的值.
解：?a∥b,,且a?0,?b??a,即(x?1)m?8n?2yp?3?m?2?n?4?p. 又?m,n,p不共面,???????????????x?13?8?2?2y?4,?x??13,y?8.
点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。
例4、底面为正三角形的斜棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点，求证：AB1∥平面C1BD. 证明：记AB?a,AC?b,AA1?c,则
12b?cAB1?a?c,DB?AB?AD?a?12b,DC1?DC?CC1?∴DB?DC1?a?c?AB1,∴AB1,DB,DC1共面. ∵B1?平面C1BD, AB1//平面C1BD. （四）强化巩固导练
1、已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若AF解：易求得x?y?12,?x?y?0?AD?xAB?yAA1，求x－y的值. 中，M为AC与BD的交点，若A1B1?在平行六面体ABCD2、
?A1B1C1D1a，A1D1?b，A1A?c，则下列向量
中与B1M相等的向量是
( A )。 6
A
A．?1a＋1b＋c B．1a＋1b＋c 2222BA D B C CC．1a?1b＋c
22
D．?1a?1b＋c 223、（2009四川卷理）如图，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧 棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大是 。 解析：不妨设棱长为2，选择基
12向量{BA,BB1,BC}，则AB1?BB1?BA,BM?BC?BB1
(BBcos?AB1,BM??1?BA)?(BC?22?512BB1)?0?2?2?022?5?0，故填写90。
o（五）、小结：1．立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直，一般是利用a⊥b?a2b＝0进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明． 2．运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模．而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果． 3．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式
cosθ＝a?bab． 4．异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l1、l2，AB为其公垂线段，C、D
分别为l1、l2上的任意一点，n为与AB共线的向量，则｜AB｜＝|CD?n||n|.5．设平面α的一个法向量
为n，点P是平面α外一点，且Po∈α，则点P到平面α的距离是d＝|PoP?n||n|.
（六）、作业布置：课本P32页A组中2、3、4 B组中3
课外练习：课本P39页A组中8 ；B组中3； 复资P130页变式训练中1、2、3、5、6 五、教学反思：
7
第二课时 空间向量的坐标运算
一、复习目标：1、理解空间向量坐标的概念；2、掌握空间向量的坐标运算； 3．掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式．
二、重难点：掌握空间向量的坐标运算；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式．
三：教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、基础知识过关（学生完成下列填空题） 1、空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，??????用{i,j,k}表示；（2）在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以???点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、zA(x,y,z)k它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O?xyz，点Oz轴，iOjy???叫原点，向量 i,j,k都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平x面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面； 2、空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O?xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使OA?xi?yj?zk，有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系O?xyz中的坐标，记作A(x,y,z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标． 3、设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)(1) a±b＝ 。 (2) ?a＝ ．(3) a2b＝ ． (4) a∥b? ；a?b? ．
??（5）模长公式：若a?(a1,a2,a3)， 则|a|???a?a?a1?a2?a3．
222??（6）夹角公式：cosa?b????|a|?|b|??a?ba1b1?a2b2?a3b3a1?a2?a3222b1?b2?b3222． ????????2222（7）两点间的距离公式：若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则|AB|?AB?(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1) (8) 设A?(x1,y1,z1),B?(x2,y2,z2) 则AB＝ ，
AB? ．
AB的中点M的坐标为 ．
4、直线的方向向量的定义为 。如何求直线的方向向量？ 5、平面的法向量的定义为 。如何求平面的法向量？ （二）典型题型探析 题型1：空间向量的坐标
8
例1、（1）已知两个非零向量a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3），它们平行的充要条件是（ ）
A. a：|a|=b：|b| B.a12b1=a22b2=a32b3 C.a1b1+a2b2+a3b3=0 D.存在非零实数k，使a=kb
（2）已知向量a=（2，4，x），b=（2，y，2），若|a|=6，a⊥b，则x+y的值是（ ）
A. －3或1 B.3或－1 C. －3 D.1 （3）下列各组向量共面的是（ ）
A. a=(1，2，3)，b=(3，0，2)，c=(4，2，5) B. a=(1，0，0)，b=(0，1，0)，c=(0，0，1) C. a=(1，1，0)，b=(1，0，1)，c=(0，1，1) D. a=(1，1，1)，b=(1，1，0)，c=(1，0，1) 解析：（1）D；点拨：由共线向量定线易知；
2??4?16?x?36?x?4,?x??4,????4?4y?2x?0??y??3?点拨：由题知或?y?1.（2）A ；
（3）A 点拨：由共面向量基本定理可得。
点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考查共线、垂直时参数的取值情况。
例2、已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。设a=AB，b=AC，（1）求a和b的夹角?；（2）若向量ka+b与ka－2b互相垂直，求k的值.
思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果.
解：∵A(－2，0，2)，B（－1，1，2），C(－3，0，4)，a=AB，b=AC， ∴a=(1，1，0)，b=（－1，0，2）.
?1?0?01010(1)cos?=a?b|a||b|=
2?5?－10，∴a和b的夹角为－
10。
(2)∵ka+b=k（1，1，0）+（－1，0，2）＝（k－1，k，2），
ka－2b=（k+2，k，－4），且(ka+b)⊥（ka－2b），
22
∴（k－1，k，2）2（k+2，k，－4）=(k－1)(k+2)+k－8=2k+k－10=0。
5则k=－2或k=2。
点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做。（a+b）(ka－2b)=ka－ka2b－2b=2k+k－
52
2
2
2
10=0，解得k=－2，或k=2。 题型2：数量积
a=_____. 例3、（1）（2008上海文，理2）已知向量a和b的夹角为120°，且|a|=2，|b|=5，则（2a－b）2
?（2）设空间两个不同的单位向量a=(x1，y1，0)，b=(x2，y2，0)与向量c=(1，1，1)的夹角都等于(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求的大小(其中0＜＜π)。
4。
解析：（1）答案：13；解析：∵（2a－b）2a=2a－b2a=2|a|－|a|2|b|2cos120°=224
22
9
－225（－
12）=13。（2）解：(1)∵|a|=|b|=1，∴x+y=1，∴x=y=1.
??261221212222又∵a与c的夹角为
4，∴a2c=|a||c|cos
624=
2?12?12=
2.
又∵a2c=x1+y1，∴x1+y1=
21212
。
612
1另外x+y=(x1+y1)-2x1y1=1，∴2x1y1=((2)cos=a?b|a||b|612)－1=2.∴x1y1=4。
61=x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1=
2，x1y1=4.
∴x1，y1是方程x－
??x1????y1???6?46?422,2
2x+4=0的解.
6?46?46?46?422,22,??x2????y2???6?46?426?46?42,22,??x2????y2???6?46?422,,∴或
??x1????y1???.,.同理可得或
∵a≠b，∴
??x1?y2????x2?y1???,或
6?24??x1?y2????x2?y1???.
21116?26?26?∴cos=
42+
?342
4=4+4=2.
∵0≤≤π，∴=
题型3：空间向量的应用
。评述：本题考查向量数量积的运算法则。
例4、（1）已知a、b、c为正数，且a+b+c=1，求证：13a?1+13b?1+13c?1≤43。
（2）已知F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从点M1（1，-2，1）移到点M2(3，1，2)，求物体合力做的功。
解析：（1）设m=(则|m|=4，|n|=
13a?1113a?13，
13b?1，
13c?1)，n=(1，1，1)，
.
13b?11∵m2n≤|m|2|n|， ∴m2n=
1+=
+
13c?1≤|m|2|n|=4
13.
当
13a?1=
13b?113c?1时，即a=b=c=3时，取“=”号。
2（2）解：W=F2s=(F1+F2+F3)2M1M=14。
2
2
2
2
2
2
2
n=(a，n≤|m|2|n|，点评：若m=(x，y，z)，b，c)，则由m2得(ax+by+cz)≤(a+b+c)(x+y+z).
此式又称为柯西不等式(n=3)。本题考查|a|2|b|≥a2b的应用，解题时要先根据题设条件构造向量a，b，然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数量积对应做功问题。
10