????112∴ a＝1，GE??,?,?，
?333??????A1B???2,2,?2?????∵ GE
23??????????????????A1B?GE为平面ABD的法向量，且cosA1B,GE???????????A1BGE。
∴ A1B与平面ABD所成角的余弦值是
23。
反思归纳：先处理平面的法向量，再求直线的方向向量与法向量夹角间的夹角转化为线面角。 题型3：二面角
例3、（08年高考）在四棱锥P－ABCD中，ABCD为正面ABCD，PA＝AB＝a，E为BC中点。
（1）求平面PDE与平面PAB所成二面角的大小（用（2）求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。 解析：（1）延长AB、DE交于点F，则PF为平面PAD所成二面角的棱，∵PA⊥平面ABCD，∴AD⊥PA、PA∩AB=A∴DA⊥平面BPA于A，
F E PDE与平面AB, 方形，PA⊥平
O 正切值表示）；
过A作AO⊥PF于O，连结OD，则∠AOD即为平面PDE与平面PAD所成二面角的平面角。易得
tan?AOD?52，故平面PDE与平PAD所成二面角的正切值为
52；
（2）解法1（面积法）如图∵AD⊥PA、AB, PA∩AB=A， ∴DA⊥平面BPA于A, 同时，BC⊥平面BPA于B，
∴△PBA是△PCD在平面PBA上的射影, 设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为θ,
0
cosθ=S△PAB/S△PCD=/2 θ=45。
即平面BAP与平面PDC所成的二面角的大小为45°。 解法2（补形化为定义法）
如图：将四棱锥P-ABCD补形得正方体ABCD－PQMN，则PQ⊥PA、是两面所成二面角的平面角。
在Rt△PAD中，PA=AD，则∠APD=45°。即平面BAP与平面PDC
PD，于是∠APD
所成二面角的大
21
小为45°。 （二）、强化巩固训练
AA1?3231、（2007年，北京卷高考题）如图6，正三棱柱
ABC?A1B1C1的底面边长为3，侧棱，D
是CB延长线上一点，且BD?BC。求二面角B1?AD?B的大小。（略去了该题的①，③问） 2、（06四川卷）已知球O的半径是1，A、B、C三点都在球面上，A、B两点和A、C两点的球
??面距离都是4，B、C两点的球面距离是3，则二面角B?OA?C的大小是（ ）
???2?（A）4 （B）3 （C）2 （D）3 1、解析：（1）取BC的中点O，连AO。
由题意：平面ABC?平面BCC1B1，AO?BC，∴AO?平面BCC1B1， 以O为原点，建立如图6所示空间直角坐标系，
zA（0,0,323）B（32,0,0）D（9232,0,0）则
B（133,22，，
9232,0,?，
3）AA13,0）AD?（CC1， ∴
323,0）BB1?（0,，
BDOB1yB1D?（3,?3,0）， ，
323,0）x由题意
BB1?平面ABD， ∴
BB1?（0,为平面ABD的法向量。
设 平面AB1D的法向量为 n2?(x,y,z)，
3?9x?3z?03?2?2x?3y?????n2?AD?n2?AD?032????3x?3y?0?z?3x?n?B1D?n?BD?02则?2， ∴ ?21， ∴ ?，即 ?。
3323cos?BB1,n2??)BB1?n2|BB1|?|n2|?2323?3?212∴ 不妨设
n2?(,1,2，由
，
22
?得?BB1,n2??60。 故所求二面角B1?AD?B的大小为60。
?评析：（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找——证——求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表面似乎谈化了学生的空间想象能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神；
n2?(?32,?1,?32)（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取
cos?BB1,n2???1时，会算得
2，从而所求二面角为120，但依题意只为60。因为二面角的大小有
??时为锐角、直角，有时也为钝角。所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。
?2、解析：球O的半径是R=1，A,B,C三点都在球面上，A,B两点和A,C两点的球面距离都是4，则
???∠AOB，∠AOC都等于4，AB=AC，B,C两点的球面距离是3，∠BOC=3，BC=1，过B做BD⊥AO，垂足
2?为D，连接CD，则CD⊥AD，则∠BDC是二面角B?OA?C的平面角，BD=CD=2，∴∠BDC=2，二面
?角B?OA?C的大小是2，选C。
（三）、小结：本课要求大家理解和掌握运用向量法解决立体几何中：1、线面角的求法： 2、二面角的求法：①AB，CD分别是二面角?—l—?的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为
AB,CD。3、设n1,n2分别是二面角?—l—?的两个平面?,?的法向量，则
n1?n2|n1|?|n2|cosn1,n2?,n1,n2就是二面角的平面角或其补角。教师引导学生反思归纳回顾，进一步
深化理解。 （四）、作业布置：复资P133页中2、3、4
课外练习：限时训练54中3、5、7、8、10、11
五、教学反思：
23
第三课时 用向量法求空间的距离
——热点考点题型探析
一、复习目标：1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的距离；2．能用向量方法解决线线、线面、面面的距离的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。3、探究题型，掌握解法。 二、重难点：向量法在立体几何中求空间的距离应用。探究题型，掌握解法。 三、教学方法：讲练结合，探析归纳 四、教学过程
（一）热点考点题型探析
z题型1：异面直线间的距离
S 例1、如图2，正四棱锥S?ABCD的高SO?2， 底边长AB?2。求异面直线BD和SC
D A ,0)x之间的距离？
分析：建立如图所示的直角坐标系，则
A(22,?22,0)B(22,22O 图2 ????CS?(C yB ， ，
?????DB?(2,C(?22,22,0)，
D(?22,?22,0)22，
S(0,0,2)。
2,0)，
,?22,2)。
令向量
?n?(x,y,1)，且
??????????n?DB,n?CS，
则
???????n??DB?0????????n?CS?0?(x,y,1)?(2,2,0)?0???22,?,2)?0?(x,y,1)?(?22，
x?y?0????x?y?22?0，???x??2???y?2，?，
??n?(?2,2,1)。
异面直线BD和SC之间的距离为：
2,1)22?????(?,,0)?(?2,OC?n22?d??(?2,2,1)n?(?1?1?02)?(2)?1222?255。
题型2：点面距离
例2、如图，已知ＡＢＣＤ为边长是４的正方形， Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于Ａ ＢＣＤ所在的平面，且ＧＣ＝２，求点Ｂ到 平面ＥＦＧ的距离。
解法一：连结ＢＦ，ＢＧ，
S?BEF?12BE?FA?12?2?2?2Ｇ
Ｄ ＦO?Ｃ
，
Ａ
Ｈ Ｏ Ｅ
Ｂ
又Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＤ的中点，
?EF?12BD?22,CH?34AC,
24
?GH?GC2?CH2?22?3??4?4?2??2?1322。 ?211?h?2311hVG?BEF?13?2?2S?GEF?12?22?22?211，
VB?EFG?，，
?h?21111．
解法二．?Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＤ的中点，?ＥＦ／／ＢＤ，?Ｂ到平面ＧＥＦ的距离为ＢＤ上任一点到平面ＧＥＦ的距离，ＢＤ?ＡＣ于Ｏ，ＥＦ／／ＢＤ，
?EF?AC,又ＧＣ?平面ＡＢＣＤ，ＥＦ?平面ＡＢＣＤ，?ＥＦ?ＧＣ，ＥＦ?平面ＧＥＦ，?平面ＧＥＦ?平面ＧＣＨ，过Ｏ点作OO??ＨＧ，则OO??平面ＧＥＦ，OO?为Ｏ到平面ＧＣＨ的距离，即Ｂ到平面ＧＥＦ的距离。
OH?14AC?2OH由解法一知：GH?22，由?HOO?∽?HCG得 GH?OO?GC,OO??21111。
思维点拔：注意点距，线面距，面面距的转化，利用平面互相垂直作距离也是一种常用的方法。 题型6：线面距离
例3、已知正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长为8， 对角线B1C?10，D是AC的中点。（1）求点B1到 直线AC的距离。（2）求直线AB1到平面C1BD的距离。 解析：（1）连结BD，B1D，由三垂线定理可得：
B1D?ACRt?B1BDA1C1B1A
D B
C ，所以中
B1D就是
B1C2B12点到直线AC的距离。
2在
BB1??B1B?BC21?102?82?6,BD?43．
?B1D?BD2?2。
（2）因为AC与平面BD所以AB1到平面BD
C1C1交于ＡＣ的中点Ｄ，设B1C?BC1?E，则AB1//DE，所以AB1//平面C1BD，
C1的距离等于Ａ点到平面BD的距离，等于Ｃ点到平面BD
C1的距离，也就等于
三棱锥C?BDC1的高。
25