立体几何中的向量方法 -------空间夹角和距离
一．考纲要求：
1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角和距离；
2．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
二．命题走向：
空间的夹角和距离问题是立体几何的核心内容，高考对本节的考查主要有以下情况：（1）空间的夹角；（2）空间的距离；（3）空间向量在求夹角和距离中的应用。
预测2010年高考对本节内容的考察将侧重空间向量的应用求夹角、求距离。课本淡化了利用空间关系找角、求距离这方面内容的讲解，而是加大了向量在这方面内容应用的讲解，因此作为立体几何的解答题，用向量方法处理有关夹角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。
题型上空间的夹角和距离主要以主观题形式考查。
第一课时 空间夹角和距离
一、复习目标：1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角和距离；2．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 二、重难点：向量法在立体几何中求空间的夹角和距离应用。 三、教学方法：讲练结合，探析归纳 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课程高考命题考查情况，促使积极参与。
学生阅读复资132页，教师讲解，增强目标与参与意识。 （二）、知识梳理，方法定位（学生完成复资P132页填空题，教师准对问题讲评） 1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
（1）异面直线所成的角的范围是(0,?2]。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移
动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。
具体步骤如下：
①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；
②证明作出的角即为所求的角； ③利用三角形来求角。
（2）直线与平面所成的角的范围是[0,?2]。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。
具体步骤如下：
①找过斜线上一点与平面垂直的直线； D ②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。
注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有???； A C （3）确定点的射影位置有以下几种方法： ? B ①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上； ②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的
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平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；
③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上； ④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：
a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心； b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；
c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；
（4）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指(0,?]，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种方法
①棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；
②面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；
③空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
斜面面积和射影面积的关系公式：S??S?cos?(S为原斜面面积,S?为射影面积,?为斜面与射影所成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时,如果能找得斜面面积的射影面积,可直接应用公式,求出二面角的大小。
2．空间的距离
（1）点到直线的距离：点Ｐ到直线a的距离为点Ｐ到直线a的垂线段的长，常先找或作直线a所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作a的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线a的距离。在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可。
点到平面的距离：点Ｐ到平面?的距离为点Ｐ到平面?的垂线段的长．常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面?的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为m:n，则点Ａ，Ｂ到平面?的距离之比也为m:n．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面?的距离相等；③体积法
（2）异面直线间的距离：异面直线a,b间的距离为a,b间的公垂线段的长．常有求法①先证线段ＡＢ为异面直线a,b的公垂线段，然后求出ＡＢ的长即可．②找或作出过b且与a平行的平面，则直线
a到平面的距离就是异面直线a,b间的距离．③找或作出分别过a,b且与b，a分别平行的平面，则这
两平面间的距离就是异面直线a,b间的距离．④根据异面直线间的距离公式求距离。
（3）直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之间．为直线上任意一点到平面间的距离。 （4）平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间．为一个平面上任意一点到另一个平面的距离。
以上所说的所有距离：点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短
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距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离。
3．空间向量的应用
（1）用法向量求异面直线间的距离
如右图所示，a、b是两异面直线，n是a和b 的法E∈a，F∈b，则异面直线 a与b之间的距离是
EF?nd?nE
a 向量，点
；
b
F A 面α的法
（2）用法向量求点到平面的距离
如右图所示，已知AB是平面α的 一条斜线，n为平
n AB?n向量，则 A到平面α的距离为d?n；
C α B （3）用法向量求直线到平面间的距离
首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。
（4）用法向量求两平行平面间的距离
首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。 （5）用法向量求二面角
如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或先必须判断二面角是锐角还是钝角。
（6）法向量求直线与平面所成的角
n2α n1量n1与n2，互补，所以首
β 要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的夹角的余弦cosn,a，易知θ=n,a或者
?2?n,a。
（三）、基础巩固导练
1、在平行六面体ABCD—A'B'C'D'中，设AC'?xAB?2yBC?3zCC'，则x+y+z=（A ）
A.
116 B.
56 C.
23 D.
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2、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，点O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则异面直线OP与AM所成角的大小为（ C ）
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A.
?4 B.
?3 C.
?2 D. 与P点位置无关
3、如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB、CC1的中点，则异面直线A1C与EF所成角的余弦值为（ B ）
A.
33 B.
23 C.
13 D.
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4、 如图所示，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE。
（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求二面角B－AC－E的大小； （3）求点D到平面ACE的距离。10、（1）略（2）arcsin63 （3）
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（四）、小结：本课要求大家理解和掌握运用向量法解决立体几何中：1、线面角的求法： 2、二面角的求法：①AB，CD分别是二面角?—l—?的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为AB,CD。3、设n1,n2分别是二面角?—l—?的两个平面?,?的法向量，则
n1?n2|n1|?|n2|cosn1,n2?,n1,n2就是二面角的平面角或其补角。4、异面直线间距离的求法： 5、点面
距离的求法： 6、线面距、面面距均可转化为点面距离再用（5）中方法求解。 （五）、作业布置：课本P57页A组中16、17、18 B组中3
课外练习：复资P133页变式训练题1、2、4、5、6、7、8
五、教学反思：
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第二课时 用向量法求空间夹角
——热点考点题型探析
一、复习目标：1．能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角；2．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。3、探究题型，掌握解法。 二、重难点：向量法在立体几何中求空间的夹角应用。探究题型，掌握解法。 三、教学方法：讲练结合，探析归纳 四、教学过程
（一）热点考点题型探析 题型1：异面直线所成的角
例1、已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点。
求：D1E与平面BC1D所成角的大小（用余弦值表示）
z 解析：建立坐标系如图，
D1 C1 则A?2,0,0?、B?2,2,0?，C?0,2,0?，
A1?2,0,2?，B1?2,2,2?，D1?0,0,2?，E?2,1,0?，
A1 B1 ?????A1C???2,2,?2?，
??????????????D1E??2,1,?2?，AB??0,2,0?，BB1??0,0,2?。
D A x y C E B ?????不难证明A1C为平面BC1D的法向量，
。
????????????????????A1C?D1E3∵ cosA1C,D1E????????????9A1CD1E∴ D1E与平面BC1D所成的角的余弦值为
39。
反思归纳：将异面直线间的夹角转化为空间向量的夹角。
题型2：直线与平面所成的角 例2、（09年高考试题）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90?，侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G。求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用余弦值表示）；
解析：如图所示，建立坐标系，坐标原点为C，设
z CA＝2a，则A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)， C1 2a2a1,,) ，A1(2a，0，2)，E(a，a，1)， G( 333A1 B ????aa2∵ GE??,?,?333??，
1????BD??0,?2a,1?，
DD E K G x A C B y ????????222GE?BD?a??033，
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