（三）、强化巩固训练
1、(07天津理，4)设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则
①（a2b）c－（c2a）b=0 ②|a|－|b|<|a－b| ③（b2c）a－（c2a）b不与
c垂直 ④（3a+2b）（3a－2b）=9|a|－4|b|中，是真命题的有（ ）
2
2
A.①② B.②③ C.③④
解析：①平面向量的数量积不满足结合律.故①假；答案：D
D.②④
②由向量的减法运算可知|a|、|b|、|a－b|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；
③因为［（b2c）a－（c2a）b］2c=（b2c）a2c－（c2a）b2c=0，所以垂直.故③假； ④（3a+2b）（3a－2b）=92a2a－4b2b=9|a|－4|b|成立.故④真.
点评：本题考查平面向量的数量积及运算律。
????????????????????????????2、已知O为原点，向量OA??3,0,1?,OB???1,1,2?,OC?OA,BC∥OA，求AC． ????????解：设OC??x,y,z?,BC??x?1,y?1,z?2?，
????????????????????????????????∵OC?OA,BC∥OA，∴OC?OA?0，BC??OA???R?，
2
2
?3x?z?0,???3x?z?0,?x?1?3?,∴?，即?
x?1,y?1,z?2??3,0,1y?1?0,????????z?2??.?解此方程组，得x??710,y?1,z?2110,??110。
（四）、小结： (1) 共线与共面问题；(2) 平行与垂直问题；(3) 夹角问题；(4) 距离问题；运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势．用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示，本节主要是用单位正交基底表示，就是适当地建立起空间直角坐标系，把向量用坐标表示，然后进行向量与向量的坐标运算，最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系，从而使问题得到解决．在寻求向量间的数量关系时，一个基本的思路是列方程，解方程． （五）、作业布置：课本P56页A组中6、11、12、19
课外练习：限时训练53中2、4、7、9、10、12、14 五、教学反思：
11
第三课时 空间向量及其运算强化训练
一、复习目标：1、了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2、 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3、 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直；4、通过本课强化训练，使学生进一步熟练理解和掌握上述概念和运算方法，提高学生的灵活和综合运用能力。 二、重难点：空间向量及其运算的综合运用。 三、教学方法：讲练结合，探析归纳。 四、教学过程 （一）、基础自测（分组训练、共同交流） 1.有4个命题：
①若p=xa+yb，则p与a、b共面；②若p与a、b共面，则p=xa+yb； ③若MP=xMA+yMB，则P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面，则MP=xMA+yMB. 其中真命题的个数是（ B ）。A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列命题中是真命题的是( D )。
A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B.若|a|=|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 C.若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，且AB与CD同向，则AB＞CD D.若两个非零向量AB与CD满足AB+CD=0，则AB∥CD 3.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a∥b，则（ C ）。 A.x=1,y=1
1
32
B.x=，y=-
2211
C.x=，y=-
6D.x=-，y=
61324.已知A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），点Q在直线OP上运动，当QA2QB取最小值时，点Q的坐标是 . 答案 ??4?3,43,8??3?
5.在四面体O-ABC中，OA=a,OB=b, OC=c,D为BC的中点,E为AD的中点，则OE= (用a,b,c表示). 答案 a+b+c
244111（二）、典例探析
例1、如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设AA1=a，
AB=b，AD=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，
试用a，b，c表示以下各向量： （1）AP；（2）A1N；（3）MP+NC1.
12
解 （1）∵P是C1D1的中点，∴AP=AA1+A1D1+D1P=a+AD+（2）∵N是BC的中点，∴A1N=A1A+AB+BN=-a+b+（3）∵M是AA1的中点，∴MP=MA+AP=又NC1=NC+CC1=
12BC12D1C112=a+c+
AD12AB=a+c+b.
21112BC=-a+b+=-a+b+c.
211121A1A+AP=-a+(a+c+b)= a+b+c，
22221113213211+AA1=
12AD+AA1=c+a，∴MP+NC1=(a+b+c)+(a+c)=a+b+c.
22222例2、如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N 分别是AB、CD的中点.
（1）求证：MN⊥AB，MN⊥CD；（2）求MN的长； （3）求异面直线AN与CM夹角的余弦值. （1）证明 设AB=p, AC=q，AD=r.
由题意可知：|p|=|q|=|r|=a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°.
MN=AN-AM=（AC+AD）-211112AB=（q+r-p），
22
1
2
2
2
∴MN2AB=（q+r-p）2p=（q2p+r2p-p）=（a2cos60°+a2cos60°-a）=0.
2221∴MN⊥AB,同理可证MN⊥CD.
（2）解 由（1）可知MN=（q+r-p）∴|MN|=MN=（q+r-p）
2412
2
12
=［q+r+p+2（q2r-p2q-r2p）］=[a+a+a+2（
441222
1222
a22-
a22-
a22）]
=32a=
412
a22. ∴|MN|=
22a,∴MN的长为
22a.
(3)解 设向量AN与MC的夹角为?.
∵AN=(AC+AD)=(q+r), MC=AC-AM=q-p,
222111∴AN2MC=（q+r）2（q-p）=（q-q2p+r2q-r2p）
222221112
11=(a-a2cos60°+a2cos60°-a2cos60°)=（a-222212
122
12
12
a24+
a22-
a24）=
a22.
又∵|AN|=|MC|=
32a，
32a∴AN2MC=|AN|2|MC|2cos?=
232
32a2cos?=
a22. ∴cos?=，
3232∴向量AN与MC的夹角的余弦值为，从而异面直线AN与CM夹角的余弦值为. 例3、 （1）求与向量a=(2,-1,2)共线且满足方程a2x=-18的向量x的坐标；
（2）已知A、B、C三点坐标分别为（2，-1，2），（4，5，-1），（-2，2，3），求点P的坐标使得AP=（AB-AC）；
（3）已知a=（3，5，-4），b=（2，1，8），求：①a2b；②a与b夹角的余弦值；
12 13
③确定?，?的值使得?a+?b与z轴垂直，且（?a+?b）2（a+b）=53. 解 （1）∵x与a共线，故可设x=ka， 由a2x=-18得a2ka=k|a|=k（∴x=-2a=（-4，2，-4）.
2
4?1?4）=9k，∴9k=-18，故k=-2.
2
（2）设P（x，y，z），则AP=（x-2，y+1，z-2），
AB=（2，6，-3），AC=（-4，3，1），∵AP=（AB-AC）.
211321∴（x-2，y+1，z-2）=［（2，6，-3）-（-4，3，1）］=（6，3，-4）=(3，，-2)
22?x?2???∴?y?1????z?2??x?5?31?，解得?y?22???2?z?03 ∴P点坐标为(5，，0).
21（3）①a2b=（3，5，-4）2（2，1，8）=332+531-438=-21. ②∵|a|=
32?52?(?4)2=5
2, |b|=
713823022?12?82=
69,
7138230∴cos〈a,b〉=
a?bab =
5?212?69=-.∴a与b夹角的余弦值为-.
③取z轴上的单位向量n=（0，0，1），a+b=（5，6，4）.
???a??b??a?0??3??2?,5???,?4??8????0,0,1??0依题意???a??b???a?b??53 即??3??2?,5???,?4??8????5,6,4??53
????4??8??0故??29??18??53???1? 解得?1???2?.
（三）、强化训练：如图所示，正四面体V—ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.
（1）求证：AO、BO、CO两两垂直； （2）求〈DM,AO〉.
(1)证明 设VA=a,VB=b, VC=c,正四面体的棱长为1, 则VD=(a+b+c),AO=(b+c-5a),
36BO11=(a+c-5b), CO=(a+b-5c)
6613611∴AO2BO==
136（b+c-5a）2（a+c-5b）=
136（18a2b-9|a|）
2
（1831312cos60°-9）=0.∴AO⊥BO，∴AO⊥BO，同理AO⊥CO，BO⊥CO，
∴AO、BO、CO两两垂直.
（2）解 DM=DV+VM=-（a+b+c）+c=(-2a-2b+c).∴|DM|=
311126?1????2a?2b?c???6?2=，
21 14
|AO|=
?1???b?c?5a???6?2=
22，DM2AO=（-2a-2b+c）2（b+c-5a）=，
6641111∴cos〈DM,AO〉=
12?422=
22，∵〈DM,AO〉∈(0,?),∴〈DM, AO〉=45°.
（四）、小结：本节主要有空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间
的关系以及中点公式，要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质；空间向量的坐标运算同平面向量类似，具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样，实质没有改变.因而运算的方法和运算规律结论没变。不同点仅是向量在不同空间具有不同表达形式.空间两向量平行时同平面两向量平行时表达式不一样，但实质是一致的，即对应坐标成比例，且比值为?，对于中点公式要熟记。 （五）、作业布置：复资P129页中4、5、8、9
AF补充：1、已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E、F分别是BC、AD的中点，则AE2的值为（ C ）A.a
2
B.
12a2 C.
14a2 D.
34a2
ACAB2、已知A（4，1，3），B（2，-5，1），C为线段AB上一点，且A.(72=，则C点的坐标为( C )
31，?12，)25 B. (83，?3，2) C.(103，?1，)37 D. (52，?72，)23
3、如图所示，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两 两夹角为60°. (1)求AC1的长；（2）求BD1与AC夹角的余弦值. 解 记AB=a，AD=b，AA1=c，
则|a|=|b|=|c|=1，〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°, ∴a2b=b2c=c2a=.
21（1）|AC1|=（a+b+c）=a+b+c+2（a2b+b2c+c2a）=1+1+1+23(++)=6,
22222222
111∴|AC1|=
6,即AC1的长为
6.
2(2)BD1=b+c-a,AC=a+b,∴|BD1|=
2
,|AC|=
2
3,
BD1?ACBD1ACBD12AC=（b+c-a）2（a+b）=b-a+a2c+b2c=1.∴cos〈BD1,AC〉==66.
∴AC与BD1夹角的余弦值为五、教学反思：
66.
15