（行完全程提前的时间是行完120提前时间的倍数，就是全程是120的倍数）
aaaa例5】一批商品，按期望获得50％的利润来定价。结果只销售掉70％的商品，为了尽早销售掉剩下的商品，商店决定按定价打折扣出售。这样所获得的全部利润是原来所期望的利润的82％。问打了多少折扣？
【分析】设商品的成本是“1”，原来获得利润0.5，现在出售70％的商品已经获得利润（0.5×70％=）0.35，剩下 30％的商品将要获得利润（0.5×82％-0.35=）0.06，因此，这剩下30％的商品售价是（1×30％+0.06=）0.36，原来定价是1×30％×（1+50％）=0.45，因此所打的折扣的百分数是0.36÷0.45=80％，也就是八折出售。
设商品的成本是“1”份量是“1”。 则定价1.5
最后总卖了1.5×0.82 已卖了1.5×0.7 还需卖x×0.3＝0.36，即剩下的打了8折
aa【2】8．88．888．8888．共88位之和的最后两位数字是？ 由87x88＋8即知 aaaa例：3个质数的倒数的和是311/1001，问这三个质数和是 解：三个质数的最小公分母是1001，知这三个质数是7，11，13
乘法原理
例1利用数字1，2，3，4，5共可组成 (1)多少个数字不重复的三位数？ (2)多少个数字不重复的三位偶数？ (3)多少个数字不重复的偶数？
解(1)百位数有5种选择；十位数有4种选择；个位数有3种选择．所以共有5×4×3=60
(2)先选个位数，共有两种选择：2或4．在个位数选定后，十位数还有4种选择；百位数有3种选择．所以共有2×4×3=24
！
(3)分为5种情况：
一位偶数，只有两个：2和4．
二位偶数，共有8个：12，32，42，52，14，24，34，54． 三位偶数由上述(2)中求得为24个． 四位偶数共有2×4×3×2=48个． 五位偶数共有2×4×3×2×1=48个．
例2从1到300的自然数中，完全不含有数字3的有多少个？ 将符合要求的自然数分为以下三类：
(1)一位数，有1，2，4，5，6，7，8，9共八个．
(2)二位数，在十位上出现的数字有1，2，4，5，6，7，8，9共8种情形，在个位上出现的数字除以上八个数字外还有0，共9种情形，故二位数有8×9=72个．
(3)三位数，在百位上出现的数字有1，2两种情形，在十位、个位上出现的数字则有0，1，2，4，5，6，7，8，9九种情形，故三位数有2×9×9=162个．
也可用排除法，先找出含3的
aaaaaa例3在小于10000的自然数中，含有数字1的数有多少个？
解不妨将1至9999的自然数均看作四位数，凡位数不到四位的自然数在前面补0．使之成为四位数．
先求不含数字1的这样的四位数共有几个，即有0，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字所组成的四位数的个数．由于每一位都可有9种写法，所以，根据乘法原理，由这九个数字组成的四位数个数为
9×9×9×9＝6561，（不是9*8*7*6，因为各位数字相同的也在内）
其中包括了一个0000，它不是自然数，所以比10000小的不含数字1的自然数的个数是6560，于是，小于10000且含有数字1的自然数共有9999-6560=3439个． 例4 求正整数1400的正因数的个数．
解 因为任何一个正整数的任何一个正因数(除1外)都是这个数的一些质因数的积，因此，我们先把1400分解成质因数的连乘积
！
1400=257
所以这个数的任何一个正因数都是由2，5，7中的n个相乘而得到(有的可重复)．于是取1400的一个正因数，这件事情是分如下三个步骤完成的： (1)取2的正因数是2，2，2，3，共3+1种； (2)取5的正因数是5，5，5，共2+1种； (3)取7的正因数是7，7，共1+1种．
所以1400的正因数个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24． 例5 求五位数中至少出现一个6，而被3整除的数的个数．
(1)从左向右计，如果6出现在第5位，即a5=6，那么a2，a3，a4可以是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字之一，但a1不能是任意的，它是由a2+a3+a4+a5被3除后的余数所决定（余1，余2，整除）．因此，为了保证a1+a2+a3+a4+a5能被3整除，a1只有3种（？）可能，根据乘法原理，5位数中最后一位是6，而被3整除的数有
3×10×10×10=3000(个)．
(2)最后一个6出现在第四位，即a4=6，于是a5只有9种可能(因为a5不能等于6)，a2，a3各有10种可能，为了保证a1+a2+a3+a4+a5被3整除，a1有3种可能．根据乘法原理，属于这一类的5位数有
3×10×10×9=2700(个)．
(3)最后一个6出现在第3位，即a3=6，被3整除的数应有
3×10×9×9=2430(个)．
(4)最后一个6出现在第2位，即a2=6，被3整除的数应有
3×9×9×9=2187(个)．
(5)a1=6，被3整除的数应有
3×9×9×9=2187(个)．
根据加法原理，5位数中至少出现一个6而被3整除的数应有
3000+2700+2430+2187+2187=12504(个)．
0
1
2
0
1
2
3
0
1
2
3
32
！
42．小明骑车自甲地经乙地，先上坡后下坡，到达乙地后立即返回甲地，共用34分钟，已知上坡速度是400米／分，下坡速度是450米／分，则甲地到乙地的路程是＿＿米。
设甲、乙两地间路程为L，从甲地到乙地上坡程程为W，则下坡路程为L－W，于是
从甲地到乙地用时自乙地返回甲地用时则有
即 ∴
46．值是＿＿。
都是二位的正整数，已知它们的最小公倍数是385，则 的最大
分解 ：所以由
＝
都是二位正整数得，它们可能取值为77，55，35，11。因此的
最大值是77＋55＋35＝167。 50．已知数串1，1，2，3，5，8，13，??，从第3个数起每个数都等于它前面相邻的两个数之和，那么，数串中第1999个数被3除所得的余数是＿。 上述数串各项被3除的余数是1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，?
每8个一循环。而1999÷8余7．
即第1999项与第7项被3除的余数相同，余数是1．
6.有8只盒子，每只盒内放有同一种笔。8只盒子所装笔的支数分别为17支、23支、
33支、36支、38支、42支、49支、51支。在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔的支数的2倍，钢笔支数是铅笔支
解析：因圆珠笔是钢笔的2倍，铅笔是钢笔的3倍，所以3种笔被6整除，彩笔只能是49支 1、一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时。一天，小船从早晨6点由A港出发顺流行到B港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1小
！
时后找到救生圈：问：（1） 若小船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小时？（2） 救生圈是在何时掉入水中的？
分析（1）设静水中的速度为x
得小船由A港漂流到B港需48小时。我们重点分析问题（2），如图，设救生圈在C处掉入水中，当小船以在顺水航行的速度由C处到达B港的同时，救生圈以水流速度由C处漂流到D处，这一段相当于简单的追及问题；小船掉头从B处逆流而上，同时救生圈从D处漂流而下，相当于以DB为总路程的相遇问题。由此可设全程为1，救生圈是x点钟落入水中的，则
解之，得 x=11。可知救生圈是上午11时掉入水中的。
或设，在小船返回找时，救生圈已漂流了x小时
（1/6-1/48）x除以（1/8＋1/48）＝1，x＝1
5．在乘积1×2×3×?×98×99×100中，末尾有___（24）___个零．
由2×5=10，所以要计算末尾的零只需数清前100个自然数中含质因数2和5的个数，而其中2的个数远远大于5的个数，所以含5的因数个数等于末尾零的个数．
aaaaaaaa9．现有一叠纸币，分别是贰元和伍元的纸币．把它分成钱数相等的两堆．第一堆中伍元纸币张数与贰元张数相等；第二堆中伍元与贰元的钱数相等．则这叠纸币至少有______元．
解：第一堆中钱数必为5+2=7元的倍数；第二堆钱必为20元的倍数（因至少需5个贰元与2个伍元才能有相等的钱数）．但两堆钱数相等，所以两堆钱数都应是7×20=140元的倍数．所以至少有2×140=280元．
5．甲、乙两数的最大公约数是75，最小公倍数是450．若它们的差最小，则两个数为______和______．
！