1.已知数列{an}满足a1?1，a2?1，且[3?(?1)n]an?2?2an?2[(?1)n?1]， 2（n=1,2,3,?）.（1）求a3,a4,a5,a6的值及数列{an}的通项公式； （2）令bn?a2n?1?a2n，记数列{bn}的前n项的和为Tn，求证：Tn<3.
11,a5?5,a6? 48*当n为奇数时，不妨设n=2m1，m?N，则a2m?1?a2m?1?2， {a2m?1}为等差数列，
解：（1）分别令n=1，2，3，4可求得a3?3,a4?a2m?1=1+2(m1)=2m1, 即an?n。
当n为偶数时，设n=2m，m?N，则2a2m?2?a2m?0， {a2m}为等比数列，
*1n11m?11a2m??()?m，故an?()2，
2222?n(n?2m?1m?N*)1?综上所述，an??1n （2）bn?a2n?1?a2n?(2n?1)?n
*2?()2（n?2mm?N)?21111Tn?1??3?2?5?3???(2n?1)?n
222211111Tn?1?2?3?3???(2n?3)?n?(2n?1)?n?1 22222111111两式相减：Tn??2(2?3???n)?(2n?1)?n?1
22222211(1?)n?12n?31412 ??，故Tn?3 ?(2n?1)?n?1 Tn?3?n12221?2332.已知A、B分别是直线y?线段AB的长为23，P是AB的中点．（1）x和y??x上的两个动点，
33求动点的轨迹C的方程；
（2）过点Q(1,0)任意作直线l（与轴不垂直），设l与（1）中轨迹C交于M、N两点，与轴交于点．若
??????????????????RM??MQ，RN??NQ，证明：???为定值．
解：（1）设P(x,y)，A(x1,y1)，B(x2,y2)．
x1?x2?
x?,??2
∵P是线段AB的中点，∴?
?y?y1?y2.??2
∵A、B分别是直线y?3333x和y??x上的点，∴y1?x1和y2??x2． 3333?x1?x2?23y,?∴?23
x.?y1?y2?3?????42222又AB?23，∴(x1?x2)?(y1?y2)?12． ∴12y?x?12，∴动点的轨迹C的方程为
3x2?y2?1． 、 9（2）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y?k(x?1)． 设M(x3,y3)、N(x4,y4)、R(0,y5)，
?y?k(x?1),?则M、N两点坐标满足方程组?x2 2?y?1.??9消去并整理，得(1?9k2)x2?18k2x?9k2?9?0，
9k2?918k2∴x3?x4?， ① x3x4?． ②
1?9k21?9k2∵RM??MQ，∴(x3,y3)?(0,y5)???(1,0)?(x3,y3)?
?x3??(1?x3),∴x3??(1?x3)．∵l与轴不垂直，∴x3?1，
y?y???y.53?3x3∴，同??1?x3(x?x)?2x3x4x3x4x． ∴????． ???4?341?x41?x31?x41?(x3?x4)?x3x49将①②代入上式可得?????．
4即?3.已知a?0,且a?1函数f(x)?loga(1?ax)。 （1）求函数f(x)的定义域，并判断f(x)的单调性；
理
af(n); （2）若n?N,求limnn???a?a*（3）当a?e（为自然对数的底数）时，设h(x)?(1?e数的取值范围以及函数h(x)的极值。 解：（Ⅰ）由题意知1?a?0
xf(x))(x2?m?1)，若函数h(x)的极值存在，求实
当0?a?1 时，f(x)的定义域是（0，??）；当a?1时，f(x)的定义域是（??，0）-axlnaaxf?(x)=glogae?x x1?aa?1当0?a?1时，x?(0,??).因为a?1?0,a?0,故f?(x)<0,所以f(x)是减函数 当a?1时，x?(??,0),因为a?1?0,a?0,故f?(x)?0,所以f(x)是减函数 （Ⅱ）因为f(n)?loga(1?an),所以af(n)?1?an 由函数定义域知1?a>0,因为n是正整数，故0
nxxxxaf(n)1?an1?limn? 所以limnn??a?an??a?aa（Ⅲ）（hx)?e(x?m?1)(x?0),所以h?(x)?e(x?2x?m?1)
x2x2令h?(x)?0,即x2?2x?m?1?0,由题意应有??0，即m?0
① 当m=0时，h?(x)?0有实根x??1，在x??1点左右两侧均有h?(x)?0故无极值 ② 当0?m?1时，h?(x)?0有两个实根x1??1?m,x2??1?m 当x变化时，h?(x)、h(x)的变化情况如下表所示：
(??,x1)
+ ↗
x1
0 极大值
(x1,x2)
- ↘
mx2
0 极小值
(x2,0)
+ ↗
h?(x) h(x)
?h(x)的极大值为2e?1?m(1?m)，h(x)的极小值为2e?1?(1?m)
③ 当m?1时，h?(x)?0在定义域内有一个实根，x??1?m 同上可得h(x)的极大值为2e?1?m(1?m)
（0，??）综上所述，m?时，函数h(x)有极值；
当0?m?1时h(x)的极大值为2e?1?当m?1时，h(x)的极大值为2e?1?mm(1?m)，h(x)的极小值为2e?1?m(1?m)
(1?m)
4.已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（0，1），且过点A（2，t）， （I）求t的值；
（II）若点P、Q是抛物线C上两动点，且直线AP与AQ的斜率互为相反数，试问直线PQ的斜率
是否为定值，若是，求出这个值；若不是，请说明理由.
解：（I）由条件得抛物线方程为x2=4y ∴把点A代入x2=4y， 得?t?1 （II）设直线AP的斜率为k，AQ的斜率为?k， 则直线AP的方程为y?1?k(x?2)，即：y?kx?(2k?1)
ì?y=kx-(2k-1)联立方程：? í2?x=4y??消去y，得：x2?4kx?4(2k?1)?0 ?xA?xp?4(2k?1)?xp?2(2k?1)?4k?2
yp?kxp?(2k?1)?4k2?4k?1
同理，得xq??4k?2,yQ?4k?4k?1…
kPQ?yq?yPxQ?xp?8k??1是一个与k无关的定值。 ?8k25.已知函数f(x)?a2x?lnx， 2（I） 若a?1，证明f(x)没有零点；
（II）若f(x)?1恒成立，求a的取值范围. 212x?lnx(x?0) 2解：（I）a?1时f(x)?f'(x)?x?1 x由f'(x)?0 得x?1
可得f(x)在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增 故f(x)的最小值fmin(x)?f(1)?（II）方法一：
1?0，所以f(x)没有零点 21ax2?1f'(x)?ax??
xx（i）若a?0时，令f'(x)?0，则x?增，故f(x)在?0,???上的最小值为f(要使解得f(x)?1，故af'(x)在??0,??1a??1?,??上单调递减，在?????a? 上单调递
???111)??lna， a221111恒成立，只需?lna?，得a?1 2222（ii）若a?0，f'(x)?0恒成立，f(x)在?0,???是单调递减，f(1)?故不可能f(x)?1恒成 211?2lnx恒成立，得a?恒成 22xa?0， 2方法二：由f(x)?设?(x)?1?2lnx2x?max(x)??(1)?1…
(x?0)，则?'(x)??4lnxx3 由?'(x)?0 得x?1 故?(x)的最大值为
要使a??(x)恒成立，只需a?1
6.设函数f(x)?x?alnx，其中a为常数． x（1）证明：对任意a?R，y?f(x)的图象恒过定点；
（2）当a??1时，判断函数y?f(x)是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由； （3）若对任意a?(0,m]时，y?f(x)恒为定义域上的增函数，求m的最大值． 解：（1）令lnx?0，得x?1，且f(1)?1，
所以y?f(x)的图象过定点(1,1)；
lnx1?lnxx2?lnx?1/?（2）当a??1时，f(x)?x?，f(x)?1? 22xxx2令g(x)?x?lnx?1，经观察得g(x)?0有根x?1，下证明g(x)?0无其它根．
g/(x)?2x?1/，当x?0时，g(x)?0，即y?g(x)在(0,??)上是单调递增函数． x/所以g(x)?0有唯一根x?1；且当x?(0,1)时，f(x)?g(x)?0，f(x)在(0,1) 上是减函数；2xg(x)?0，f(x)在(1,??)上是增函数； 2xln1?1 所以x?1是f(x)的唯一极小值点．极小值是f(1)?1?1a?alnxx2?alnx?a/2?（3）f(x)?1?，令h(x)?x?alnx?a 22xx当x?(1,??)时，f(x)?/由题设，对任意a?(0,m]，有h(x)≥0，x?(0,??)，
2x2?a?又h(x)?x/2(x?aa)(x?)22 x当x?(0,aa)时，h/(x)?0，h(x)是减函数；当x?(,??)时，h/(x)?0，h(x) 是增函数；22aa3a时，h(x)有极小值，也是最小值h()?(?ln)a， 222232a)a≥0，得a≤2e3，即m的最大值为2e3． 2所以当x?又由h(x)≥0得(?lnx2y237. 已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长
2ab为1，过点M(3,0)的直线与椭圆C相交于两点A,B， （1）求椭圆的方程；
???????????????????? （2）设P为椭圆上一点，且满足OA?OB?tOP（O为坐标原点），当|PA?PB|?3时，求实数t的取值范围
c23c32222（1） 由已知e??，所以2?，所以a?4b,c?3b
4aa2
x2y2所以2?2?1
4bb2b2?1 又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为a所以b?1
x2?y2?1 所以4 （2）设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y)
设AB:y?k(x?3)与椭圆联立得