?y?k(x?3)? ?x2 2??y?1?4
整理得(1?4k2)x2?24k2x?36k2?4?0
??242k4?16(9k2?1)(1?4k2)?0
124k236k2?4,x1?x2?得k? x1?x2?
51?4k21?4k22
????????124k2 OA?OB?(x1?x2,y1?y2)?t(x,y) x?(x1?x2)?tt(1?4k2)11?6k y?(y1?y2)??k(x1?x2)?6k??ttt(1?4k2)
(24k2)2144k2由点P在椭圆上得2??4
t(1?4k2)2t2(1?4k2)236k2?t2(1?4k2)
????????又由PA?PB?3,即BA?3 所以AB?1?k2
x1?x2?3 所以(1?k2)(x1?x2)2?3
2(1?k2)?(x?x)?4x1x2?12???3
?242k44(36k2?4)? (1?k)????3 2221?4k?(1?4k)?2
整理得：?37?m??9 3(8k2?1)(16k2?13)?0
所以8k?1?0,k?所以
221 811?k2? 由36k2?t2(1?4k2)得 85
36k29t??9?
1?4k21?4k22
所以3?t?4，所以?2?t??3或3?t?2
28.已知函数f(x)?alnx?ax?3(a?R) （1）当a?1时，求函数f(x)的单调区间；
（2）若函数y?f(x)的图像在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45?，问：m在什么范围取值时，对
于任意的t??1,2?，函数g(x)?x3?x2??f'(x)?在区间(t,3)上总存在极值？
?2? （3）当a?2时，设函数h(x)?(p?2)x??m?p?2?3，若对任意地x?[1,2]，f(x)?h(x)恒成立，x求实数p的取值范围
解：f'(x)?ax?a(x?0) （1）当a?1时，f'(x)?11?xx?1?x
令f'(x)?0时，解得0?x?1，所以f(x)在(0,1)递增； 令f'(x)?0时，解得x?1，所以f(x)在(1,??)递减
（2）因为，函数y?f(x)的图像在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45?， 所以f'(2)?1，
所以a??2，f'(x)??2x?2，
g(x)?x3?x2??m2?m?2?2?x???x3?(2?2)x2?2x，
g'(x)?3x2?(4?m)x?2
因为对于任意的t??1,2?，
函数g(x)?x3?x2??m??2?f'(x)??在区间(t,3)上 总存在极值，
所以只需??g'(2)?0g'(3)?0，
? 解得?373?m??9
（3）设F(x)?f(x)?g(x)?2lnx?px?p?2x ?p(x?1)(x?p?2
F'(x)?2p?2?px2?2x?(p)x?p?p?2)x2?x2?x2…
F'(x)?2x?2x2?0,?F(x)在[1,2]递增，
所以F(1)??2?0不成立，（舍）
11p?0，
时
221?2（舍） ??1,即?1?p?0时，同11，不成立，
p2递增， ?1,即p??1时，F(x)在[1,2]p
33?1?1?
所以F(1)??2p?2?0，解得p??1
所以，此时p??1 44p??1时，F(x)在[1,2]递增，成立；
55p?0时，均不成立
9.
综上，p??1
16k2?42?8k2所以x1?(?2)?，得x1? 9分 221?4k1?4k2?8k24k所以y1?k( ?2)?1?4k21?4k24k211?4kBS所以直线的斜率为， 10分 ??2?8k24k?21?4k21(x?2) 则直线BS的方程可设为y??4k1?y??(x?2)?341?4k) 12分 由?，得N点的坐标为(,?341515k?x??15?所以|MN|?|64k164k116?|≥2?? 1515k1515k15当且仅当
64k11?即k?时取等号．
81515k10. 已知数列{an}的前n项和为Sn,且(a?1)Sn?a(an?1)(a?0)(n?N*)。 (Ⅰ)求证数列{an}是等比数列，并求an；
(Ⅱ)已知集合A?{x|x2?a?(a?1)x},问是否存在实数a，使得对于任意的n?N,都有Sn?A?若
*存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由。 解：(Ⅰ)当n?1时， ?(a?1)S1?a(a1?1),?a1?a(a?0)
n?2时，由(a?1)Sn?a(an?1)(a?0),得(a?1)Sn?1?a(an?1?1)
?(a?1)an?a(an?an?1)，变形得：
an?a(n?2) an?1故{an}是以a1?a为首项，公比为a的等比数列，?an?an
(Ⅱ)(1)当a?1时，A?{1},Sn?n,只有n?1时Sn?A, ?a?1不适合题意
2(2)a?1时，A?{x|1?x?a},S2?a?a?a,?S2?A,
即当a?1时，不存在满足条件的实数a (3)当0?a?1时，A?{x|a?x?1} 而Sn?a?a???a?2naa(1?an)?[a,) 1?a1?a0?a?1,1*因此对任意的n?N,要使Sn?A,只需 a解得0?a?
?1,21?a综上得实数a的范围是(0,] 11.己知f(x)?lnx?ax2?bx。
(Ⅰ)若a??1，函数f(x)在其定义域内是增函数，求b的取值范围； (Ⅱ)当a?1,b??1时，证明函数f(x)只有一个零点；
(Ⅲ)f(x)的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)(x1?x2)两点AB中点为C(x0,0)，求证：f?(x0)?0。 解：(Ⅰ)依题意：f(x)?lnx?x2?bx
12?f(x)在(0,??)上递增，?f?(x)?1?2x?b?0对x?(0,??)恒成立 x11即b??2x对x?(0,??)恒成立，?只需b?(?2x)min
xx12?x?0,??2x?22 当且仅当x?时取\?\?b?22，
x2?b的取值范围为(??,22]
(Ⅱ)当a?1,b??1时，f(x)?lnx?x2?x，其定义域是(0,??),
12x2?x?1(x?1)(2x?1)?f?(x)??2x?1????,
xxx?x?0,?0?x?1时，f?(x)?0;当x?1时，f?(x)?0
?函数f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,??)上单调递减 ?当x?1时，函数f(x)取得最大值，其值为f(1)?ln1?12?1?0
当x?1时，f(x)?f(1),即f(x)?0
?函数f(x)只有一个零点 分
(Ⅲ)由已知得 f(x1)?lnx1?ax12?bx1?0,f(x2)?lnx2?ax?bx2?0,22? lnx1?ax12?bx1lnx2?ax?bx222两式相减，得
lnx1x?a(x1?x2)(x1?x2)?b(x1?x2)?ln1?(x1?x2)[a(x1?x2)?b], …………11分 x2x21?2ax?b及2x0?x1?x2，得 x由f?(x)?f?(x0)?x1221?2ax0?b??[a(x1?x2)?b]??ln1 x0x1?x2x1?x2x1?x2x2