?1?2k2?0???16k2?161(?2k2)?0??4k ??x?x??0121?2k2??4xx???0?121?2k2? ??1?k???2k???2??2k?1 ???k?0??1?2k2?0?2 2 ……11分
?? ?，得xAP?AQ，?(x，y?1)?(x，y?1)?x11221?2
??4k42??(1?)x?，?x??22221?2k1?2k 222(1??)16k4k2????2?222??4(1?2k)2k?12k?122(1?)2 ? ?1?k??，?0?2k?1??1，?42?? ?(1??)4 ??????2?1?022??的取值范围是（0，1）
2．（本小题满分13分）
……13分
(x)?已知函数f?0(x?0)?n[x?(n?1)]?f(n?1)?(n?1?x?n，n?N*)，
数列{an}满足a ?f(n)(n?N*)n （I）求数列{an}的通项公式；
（II）设x轴、直线x与函数y?f(x，求()(aa?0)?a)的图象所围成的封闭图形的面积为S； S(nS)?(n?1)(n?N*) （III）在集合M，且1中，是否存在正整数N，使得不等式?{N|NkkZ?2，?000??k1500}?N对一切n恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足a?1005??S(n)S(n?1)n条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由.
im(b??b?b) （IV）请构造一个与{an}有关的数列{bn}，使得l存在，并求出这个极限值. 12?nn??解：（I）? n?N* ? f(n)?n[n?()nf?1]?()n?1?n?f()n?1 ? f(n)?f(n??1)n
……1分
?f(1)?f(0)?1 f(2)?f(1)?2
f(3)?f(2)?3 ……
f ()n?f(n??1)n 将这n个式子相加，得
f(nf)?(01)??2?3???n?n(n?1) 2?f(0)?0 n(n?1)
?f(n)?2n(n?1) ……3分 (n?N*)2 （II）S为一直角梯形（n?时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为1()n?S(n?1) ?an?，高为1 fn(?1)，fn() ?S(n)?S(n?1)??af(n?1)?f(n)an?1n ?1?22
……6分
1n(n?1)n(n?1)n2 ?[ ?]?2222 （III）设满足条件的正整数N存在，则
n(n?1)n2n ?1005???1005?n?2010
222 又M?{2000，2002，?，2008，2010，2012，?，2998} ?均满足条件 N?2010，2012，……，2998 它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.
设共有m个满足条件的正整数N，则2，解得m ?495010?2(m?1)?2998M ?中满足条件的正整数N存在，共有495个，N 2010min? （IV）设bn?……9分
1211??2(?)，即b nann(n?1)nn?111111111)?(?)?(?)???(?)]?2(1?) 22334nn?1n?11im(bb????b)?lim[2?]?2 显然，其极限存在，并且l ……10分 12nn??n??n?1 则b1?b2???bn?2[(1?nn1cn?1n?im(b??b?b)?()，b?q1(0??|q|1) 注：bn?（c为非零常数），b等都能使lnn12?nn??2an2a2a存在.
19. （本小题满分14分）
y2x2 设双曲线2?F?1的两个焦点分别为F1、2，离心率为2.
3a （I）求此双曲线的渐近线l1、l2的方程；
（II）若A、B分别为l1、l2上的点，且2，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明|AB|?5|FF|12轨迹是什么曲线；
??（III）过点N(1.若存在，求，0)能否作出直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，且OP·OQ?0出直线l的方程；若不存在，说明理由. 解：（I）?e?2，?c?4a
? c?a?3，?a??1，c22x3x ?，渐近线方程为y??双曲线方程为y??13322222 4分
，y （II）设A，AB的中点Mx(x，y)，B(x，y)1122?2|AB|?5|F1F2|55?|AB|?|F1F2|??2c?1022?(x1?x2)2?(y1?y2)2?10
33x1，y2??x2，2x?x1?x2，2y?y1?y23333?y1?y2?(x1?x2)，y1?y2?(x1?x2)33??又y1???3(y1?y2)?2?3???(x1?x2)??10?3?22212x3y ? 3(2y)?(2x)?100，即??1375252 则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为103，短轴长为 （III）假设存在满足条件的直线l
103的椭圆.（9分） 3：y?k(x?1)，l与双曲线交于P()x，y、Q(x，y) 设l 1122
???OP·OQ?0?xx012?yy12??xxk(x1)(x1)?012?1?2??xxk2?xx(xx1??012?12?1?2)?2
()iy?k(x?1)??2222由得(3k?1)x?6kx?3k?3?0?2xy??1? 3?226k3k?3则x?x?，xx?(ii)1212223k?13k?1 由（i）（ii）得k? 3?0 ∴k不存在，即不存在满足条件的直线l. 3. （本小题满分13分）
已知数列?an?的前n项和为S对任意自然数都成立，其中m为常(n?N)，且S?(m?1)?mannn*2 14分
数，且m. ??1 （I）求证数列?an?是等比数列；
（II）设数列?an?的公比q?f( ，bf(b)m)，数列?bn?满足：b1?a1n?n?1*imb(lga)l?im3(bb?bb?bb?，试问当m为何值时，l (n?2，n?N)nn122334n??n??13…?bb)成立？ n?1n解：（I）由已知Sm?(?1)?man?1n?1 S （2） ?(m?1)?mann 由()，即(对任意n?N都成立 1?(2)得：a?mam?ama?1)n?man?1nn?1?1n* (1)?m为常数，且m??1am ?n?1?am?1n即等比数列?an?为
5分1 （II）当n?时，a ?(m?1)?ma11?a1?1，从而b1?13mm?1
（）I知q?f(m)? 由?bn?f(bn?1)?bn?1(n?2，n?N*)bn?1?11111??1?，即??1bbbbnn?1nn?1 ?为等差数列???1?bn??
11*??3?(n?1)?n?2，b?(n?N)nbn?2n?m? ?an????m?1?n?19分
n?1mm?limb(lga)?lim·lg?lgnn??nn??n?2m?1m?1 lim3(bbbb…?bb12?23?n?1n)n??
11??1111?lim3????…??1???n???3445?n?1n?2 由题意知lgmm10?1，??10，?m?? m?1m?19 13分
4．（本小题满分12分）
x2y2设椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆和
abx轴正半轴于P，Q两点，且P分向量AQ所成的比为8∶5．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若过A,Q,F三点的圆恰好与直线l：x?3y?3?0相切，求椭圆方程． 解：（1）设点Q(x0,0),F(?c,0),其中c?由P分AQ所成的比为8∶5，得P(2a2?b2,A(0,b)．
85x0,b)， 2分 131382x523∴()02?()?1?x0?a．①， 4分
13a132而FA?(c,b),AQ?(x0,?b),FA?AQ，
b2∴FA?AQ?0．?cx0?b?0,x0?．②， 5分
c2由①②知2b?3ac,?2c?3ac?2a?0． ∴2e?3e?2?0.?e?22221． 6分 2b2?c2,0)， （2）满足条件的圆心为O?(2c