1?y?kx?k2???x?k??R由? 11得：?ky??x????y??1kk2?故点P的轨迹方程是y??1(x?R).……………………………………6分 （2）由（1）得：A(2k,k),B(?2211,2),P(k?,?1) kkk21FA?(2k,k2?1),FB?(?,2?1)
kk1FP?(k?,?2)
k11FA?FB??4?(k2?1)(2?1)??2?(k2?2)………………………………10分
kk11(FP)2?(?k)2?4?2?(k2?2)
kk故存在?=1使得FA?FB??(FP)2?0…………………………………………12分 7．（本小题满分14分）
设函数f(x)?1?x?lnx在[1,??)上是增函数. ax1a?ba?b?ln?. a?bbb（1） 求正实数a的取值范围； （2） 设b?0,a?1，求证：解：（1）f(x)?'ax?1?0对x?[1,??)恒成立， ax2?a?又
1对x?[1,??)恒成立 x1?1 ?a?1为所求.…………………………4分 xa?ba?b?1， （2）取x?，?a?1,b?0,?bb1?x?lnx在[1,??)上是增函数， 一方面，由（1）知f(x)?axa?b?f()?f(1)?0
ba?b1?b?lna?b?0 ?a?bba?ba?b1?即ln……………………………………8分 ba?b另一方面，设函数G(x)?x?lnx(x?1)
G'(x)?1?1x?1??0(?x?1) xx∴G(x)在(1,??)上是增函数且在x?x0处连续，又G(1)?1?0
∴当x?1时，G(x)?G(1)?0
a?ba?b?ln bb1a?ba?b?ln?.………………………………………………14分 综上所述，
a?bbb∴x?lnx 即8．(本小题满分12分)
如图，直角坐标系xOy中，一直角三角形ABC，?C?90?，
yAB、C在x轴上且关于原点O对称，D在边BC上，BD?3DC，
!ABC的周长为12．若一双曲线E以B、C为焦点，且经过A、
xD两点．
(1) 求双曲线E的方程；
(2) 若一过点P(m,0)（m为非零常数）的直线l与双曲线EBODC????????相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且MP??PN，问在x轴上是否存在定点G，使
?????????????BC?(GM??GN)？若存在，求出所有这样定点G的坐标；若不存在，请说明理由．
x2y2解：(1) 设双曲线E的方程为2?2?1(a?0,b?0)，
ab则B(?c,0),D(a,0),C(c,0)．
由BD?3DC，得c?a?3(c?a)，即c?2a． ?|AB|?|AC|?16a,?∴?|AB|?|AC|?12?4a, ?|AB|?|AC|?2a.?222yABODCx （3分）
解之得a?1，∴c?2,b?3．
y2∴双曲线E的方程为x?（5分） ?1．
3?????????????(2) 设在x轴上存在定点G(t,0)，使BC?(GM??GN)．
2y设直线l的方程为x?m?ky，M(x1,y1),N(x2,y2)． ????????由MP??PN，得y1??y2?0． y即???1
y2BGO ① （6分）
CPNx????∵BC?(4,0)，
M?????????GM??GN?(x1?t??x2??t,y1??y2)， ?????????????∴BC?(GM??GN)?x1?t??(x2?t)．
即ky1?m?t??(ky2?m?t)． ② 把①代入②，得
2ky1y2?(m?t)(y1?y2)?0
2（8分）
③ （9分）
y2把x?m?ky代入x??1并整理得
3(3k2?1)y2?6kmy?3(m2?1)?0
其中3k2?1?0且??0，即k2?1且3k2?m2?1． 3
（10分）
?6km3(m2?1) y1?y2?2． ,yy1?23k?13k2?1代入③，得
6k(m2?1)6km(m?t) ??0， 223k?13k?1化简得 kmt?k． 当t?1时，上式恒成立． m
（12分）
?????????????1因此，在x轴上存在定点G(,0)，使BC?(GM??GN)．
m9．(本小题满分14分)
已知数列?an?各项均不为0，其前n项和为Sn，且对任意n?N*都有(1?p)Sn?p?pan（p为大于1
2n1?C1na1?Cna2???Cnan的常数），记f(n)?．
2nSn(1) 求an；
(2) 试比较f(n?1)与
p?1f(n)的大小（n?N*）； 2p2n?1p?1??p?1???1??（n?N*）． ??，p?1?2p?????(3) 求证：(2n?1)f(n)剟f(1)?f(2)???f(2n?1)解：(1) ∵(1?p)Sn?p?pan，
①
②
∴(1?p)Sn?1?p?pan?1． ②－①，得
(1?p)an?1??pan?1?pan，
即an?1?pan．
（3分）
在①中令n?1，可得a1?p．
∴?an?是首项为a1?p，公比为p的等比数列，an?pn．
（4分）
p(1?pn)p(pn?1)?(2) 由(1)可得Sn?．
1?pp?12n122nnnn1?C1na1?Cna2???Cnan?1?pCn?pCn???Cnp?(1?p)?(p?1)．
2n1?C1p?1(p?1)nna1?Cna2???Cnan??∴f(n)?，
p2n(pn?1)2nSn （5分）
p?1(p?1)n?1?f(n?1)?． p2n?1(pn?1?1)p?1p?1(p?1)n?1f(n)??而，且p?1， 2pp2n?1(pn?1?p)∴pn?1?1?pn?1?p?0，p?1?0． ∴f(n?1)?p?1f(n)，（n?N*）． 2p （8分）
(3) 由(2)知 f(1)?p?1p?1f(n)，，f(n?1)?（n?N*）．
2p2p∴当n…2时，f(n)?p?1p?12p?1n?1p?1nf(n?1)?()f(n?2)???()f(1)?()． 2p2p2p2p22n?1?p?1?p?1?p?1?∴f(1)?f(2)???f(2n?1)?????????2p?2p??2p?2n?1p?1??p?1????1????， p?1?2p?????
（10分）
（当且仅当n?1时取等号）．
另一方面，当n…2，k?1,2,?,2n?1时， p?1?(p?1)k(p?1)2n?k?f(k)?f(2n?k)????
p?2k(pk?1)22n?k(p2n?k?1)?p?1(p?1)k(p?1)2n?k …?2kk?p2(p?1)22n?k(p2n?k?1)p?12(p?1)n??p2np?12(p?1)n??p2n1 (pk?1)(p2n?k?1)1． 2nk2n?kp?p?p?1∵pk?p2n?k…2pn，∴p2n?pk?p2n?k?1?p2n?2pn?1?(pn?1)2．
p?12(p?1)n??2f(n)，∴f(k)?f(2n?k)…（当且仅当k?n时取等号）．（13分） p2n(pn?1)∴?k?12n?12n?112n?1f(k)??[f(k)?f(2n?k)]…?f(n)?(2n?1)f(n)．（当且仅当n?1时取等号）．
2k?1k?1综上所述，(2n?1)f(n)剟?f(k)k?12n?12n?1p?1??p?1???1??（n?N*）．（14分） ??，p?1?2p?????三
1．（本小题满分13分）
22xy 如图，已知双曲线C：2?2?的右准线l1与一1(a?0，b?0)ab条渐近线l2交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点.
?? （I）求证：O； M?MF? （II）若|MF|?1且双曲线C的离心率e?6，求双曲线C的方程； 2 （III）在（II）的条件下，直线l3过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、
??Q之间，满足A，试判断?的范围，并用代数方法给出证明. P??AQa2b解：（I）?右准线l1：x?，渐近线l2：y?x
ca22?aaabab222 ?，?M(，)，?F(c，0)，c??abOM?(，)
cccc22?aabbab M Fc?(?，?)?(，?)cccc2222??abab ?OM?MF???022cc?? ?OM?MF22……3分
e?，??e?1?，?a?2b （II）?
422222?babbb(?a)?|MF|?1，???1，??1222 ccc22?b?1，a?162ba222x2?y2?1 ?双曲线C的方程为：2???1 （III）由题意可得0
……7分 ……8分
(xy，)，Q(xy，)：y?kx?1 证明：设l，点P 11223?x2?2y2?222 由?得( 1?2k)x?4kx?40?y?kx?1? ?l3与双曲线C右支交于不同的两点P、Q