（II）设出直线的方程和两个交点的坐标，把直线与圆锥曲线的方程联立写出判别式的条件和根与系数的关系，根据所给的条件，代入不等式求出k的范围．
【解答】解：（Ⅰ）由（1+3m）x﹣（3﹣2m）y﹣（1+3m）=0得（x﹣3y﹣1）+m（3x+2y﹣3）=0， 由
，解得F（1，0）．
设椭圆C的标准方程为，则
解得，
．
从而椭圆C的标准方程为
（Ⅱ） 过F的直线l的方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），
由
，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，
因点F在椭圆内部必有△＞0，
有，
∴|FA|?|FB|=（1+k2）|（x1﹣1）（x2﹣1）|=（1+k2）|x1x2﹣（x1+x2）+1|=
由
，得1≤k2≤3，解得
．
或，
∴直线l的斜率的取值范围为
【点评】本题考查直线与圆锥曲线之间的关系，题目中首先求椭圆的方程，这是这类题目常用的一种形式，注意求椭圆的方程时，数字的运算不要出错，不然后面的运算都是错误的．
19．已知数列{an}中，a1=1，a2=，且an+1=（1）求数列{an}的通项公式；
第21页（共24页）
（n=2，3，4…）．
（2）求证：对一切n∈N*，有
ak2＜．
【考点】数列递推式；数列的求和． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】（1）当n≥2时，
=
，从而
=
﹣（），进而得到=﹣（1﹣
），由此能求出an=
n∈N*． ，
（2）当k≥2时， =，由此利用裂
项求和法能证明对一切n∈N*，有
ak2＜．
【解答】（1）解：∵a1=1，a2=，且an+1=
（n=2，3，4…），
∴当n≥2时， =，
两边同时除以n，得，
∴=﹣（），
∴=﹣=﹣（1﹣）
∴=﹣（1﹣），n≥2，
∴，
∴an=
，n≥2，
当n=1时，上式成立， ∴an=
，n∈N*．
第22页（共24页）
（2）证明：当k≥2时，∴当n≥2时，
=1+
＜1+ [（
）+（
）+…+（
=，
）]
=1+又n=1时，∴对一切n∈N*，有
＜1+=， ， ak2＜．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意放缩法和裂项求和法的合理运用．
20．已知函数f（x）=x2﹣（a+1）x﹣4（a+5），g（x）=ax2﹣x+5，其中a∈R （1）若函数f（x），g（x）存在相同的零点，求a的值
（2）若存在两个正整数m，n，当x0∈（m，n）时，有f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，求n的最大值及n取最大值时a的取值范围．
【考点】函数零点的判定定理；数列的求和． 【专题】分类讨论；函数的性质及应用．
【分析】（1）解方程x2﹣（a+1）x﹣4（a+5）=0，由函数f（x），g（x）存在相同的零点，代入ax2﹣x+5=0求解即可．
（2）根据f（x）＜0，得出a＞﹣5，即N=（0，a+5）
分类讨论①当a＜0时，求解得m＜n≤4，当且仅当，
②当a=0时，M∩N=?，不合题意， ③当a＞0时故总结可得到答案．
【解答】解：（1）解方程x2﹣（a+1）x﹣4（a+5）=0得：x=﹣4，或x=a+5， 由函数f（x），g（x）存在相同的零点，
第23页（共24页）
无解，
则﹣4，或a+5为方程ax2﹣x+5=0的根， 将﹣4代入ax2﹣x+5=0得：16a+9=0，解得：a=
，
将a+5代入ax2﹣x+5=0得：a3+10a2+24a=0，解得：a=﹣6，或a=﹣4，或a=0， 综上a的值为
，或﹣6，或﹣4，或0；
（2）令f（x）＜0，则﹣4＜x＜a+5， ∵正整数m，n， ∴a+5＞0， 即a＞﹣5， 即N=（0，a+5）
令g（x）＜0，即ax2﹣x+5＜0，的解集为M，则由题意得区间（m，n）?M∩N． ①当a＜0时，因为g（0）=5＞0，故只能g（a+5）=a[（a+5）2﹣1]＜0， 即a＞﹣4，或a＜﹣6， 又因为a＞﹣5， 所以﹣4＜a＜0， 此时n≤n+5＜5 ∵正整数m，n， ∴m＜n≤4，
当且仅当，
即﹣1时，n的最大值为4．
②当a=0时，M∩N=?，不合题意，
③当a＞0时，因为g（0）=5＞0，所以只能g（a+5）=a[（a+5）2﹣1]＞0， 故
无解，
综上，n的最大值为4．a的取值范围﹣1．
【点评】本题考查了函数的零点，不等式，方程的根，分类讨论的思想，综合性较强，属于难题．
第24页（共24页）