(8)jIm[x(n)]=(9)
1jw*?jw[X(e)-X(e)] 21j?jwX(e)*X(e) 2?dx(ejw)(10)j
dw
2.14 设一个因果的线性非移变系统由下列差分方程描述
y(n)-(1) 求该系统的单位取样响应h(n) (2) 用（1）得到的结果求输入为x(n)＝e(3) 求系统的频率响应 (4) 求系统对输入x(n)=cos(
jwn11y(n-1)=x(n)+ x(n-1) 22时系统的响应
??n+)的响应 24
解 （1）令X（n）=δ(n),得到
h(n)-h(n-1)/2=δ(n)+ δ(n-1)/2
由于是因果的线性非移变系统，故由上式得出 h(n)=h(n-1)/2+δ(n)+ δ(n-1)/2 ,n≥0 递推计算出
h(-1)=0
h(0)=h(-1)/2+δ(0)=1 h(1)=h(0)/2+1/2=1
h(2)=h(1)/2=1/2 h(3)=h(2)=()2 h(4)= ． ．
11h(2)=()3 221212 ．
12h(n)=δ(n)+ ()n-1u(n-1) 或 h(n)= ()n [u(n)-u(n-1)]
也可将差分方程用单位延迟算子表示成
(1-D)h(n)=(1+D)δ(n)
由此得到
h(n)=[(1+D)/(1-D)]δ(n) =[1+D+D2+ ()2 D3+…+()k-1 D3+…] δ(n) =δ(n)+ δ(n-1)+ δ(n-2)+δ(n-3)+... +()k-1δ(n-1)+… =δ(n)+ ()nu(n-1)
2）将X(n)?ejwn代入y(n)?x(n)*h(n)得到
y(n)?ejwn*?1?1D2?(n)11?D212121212121212121212
?1D2?ejwn11?D22n?1??12?1?3?1???1?D?D???D????????Dn??????2?2??2?????ejw?n?1?jwn?e?11?e?jw211?e?jw2?ejwn11?e?jw2 1?（3）由（2）得出 11?e?jw2 Hejw?1?jw1?e2（4）由（3）可知
??1?j2w1?ew?j2?2??H?e?1 1????1?1e?j2w2????jw???j??j???112?22arg?H??e???arctan?1?2e??arctan?1?2e?????????? ?1?1???2arctan???2?????y?n??Hejwcos?n??argHejw?4?2?故：
????1???cos?n??2arctan???24?2?????????
2.15 某一因果线性非移变系统由下列差分方程描述
y(n)-ay(n-1)=x(n)-bx(n-1)
试确定能使系统成为全通系统的b值（b≠a），所谓全通系统是指其频率响应的模为与频率?无关的常数的系统。
解：令x(n)= (n),则 h(n)=ah(n-1)=(n)-b8(n-1) 或
h(n)=ah(n-1)+ (n)- (n-1),n≥0
由于是线性的非移变系统，故对上式递推计算得出： h(-1)=0 h(0)=1
h(1)=ah(0)-b(0)=a-b h(2)=ah(1)= h(3)=ah(2)= h(n)=ah(n-1)= h(n)=
u(n)--b,n≥0 bu(n-1) -ab -b
或系统的频率特性为
H(
)=
=
=
= 振幅的特性平方
=
=
==
11**jw22若选取a＝b或b＝a，则有|H(e)|=|b|,即幅度响应等于与频率响应无关的常数，故该
系统为全通系统。
2.16 (1)一个线性非移变系统的单位冲激响应为h(n)=au(n),其中a为实数，且0
n? nu(n), ?为实数，且0
y(n)=(k1a+k2?nn)u(n)
jw(2)分别计算x(n)、h(n)和（1）中求得的y(n)的傅立叶变换X(e
Y(e
jw)、H(e
jw)、Y(e
jw)，并证明
)=H(e
jw)X(e
jw)
解 (1)y(n)=
k?????h(k)x(n?k)?au(k)?k?1?
=u(n?k)
k?????1[1?(???1)n?1] =??(a?)= ?11???k????1??1k??1??1n?1?1 =-+，n≥0 ???1?11???1??? y(n)=(
(2)X(e)=???e?i?=-iw
???n-?n)u(n)
1??1???n?01 ?j?1??e1
1??e?j? H(e
j?)=???e?i?=
n?0?? Y(e
j?)=?(n?0?????n??????n)e?j?
=
?1?n(-) ??j??j????1??e???e由于
?1?(-) ???1??e?j?1??e?j?1j?j?=X(e)H(e)
(1??e?j?)(1??e?j?) =
故得出 Y(ejw)=H(ejw)X(ejw)
2.17 令x(n)和X(e
jw)分别表示一个序号及其傅立叶变换，证明：
1x(n)x(n)??2?n???*???n?nX(ejw)X*(ejw)dx
此式是帕塞瓦尔（Parseval）定理的一种形式。
证明：证法一