积函数在积分围线内有1个2阶极点z?c?T ，因此
xl?n??RcsXl?z?zn?1,c?T??c?Tnzn?1最后得到
l?e?T?d?Tnczdz?nc?Tn,n?0?z?e?T
?nc?Tn,n?0 xl???0,n?0或xl?n??nc?Tnu?n?
（7）
由收敛域可知，对应的是一个双边序列。将X(n)进行部分分式分解，即
z(2z?a?b)2?(a?b)z?1 X1(z)? ??1?1(z?a)(z?b)(1?az)(1?bz) =
A1A2? 1?az?11?bz?12?(a?b)z?1其中 A1?(1?az)X7(z)|?|t?a?1 t?a1?bz?1?12?(a?b)z?1?1 A2?(1?bz)X7(z)|t?b?|?1t?b1?az?1 对于
所以
11?az?1，收敛条件|Z| ?a表明它对应于一个右边序列；又因limt?011?az?1=1有限值，
11应于一个逆因果序列。用长除法将展开成z的正幂级数，即 x(n)1?1?11?az1?az?1?1?1?1?1?az?az??az?????anz?n ?11?azn?0
由此得到
nx(n)?au(n) 1
11lim?1 对于1?bz?1，收敛条件|Z| 11?1x(n)。用长除法将1?bz?1展开成z的正幂级数，即 以1?bz对应于一个逆因果序列2??1?1?22?nn?nn??bz?bz???bz?????bz???bnz?n ?11?bzn?1n?1由此得到 x(n)=?bu(?u?1) 最后得到 x(n)?au(n)?bu(?u?1) 2nnn7 2.23 求X（Z）＝e?e，0<|z| ?z2zn1e?1?z??...??...??zn2!n!n?0n!z01?n1?n??z?1??z(?n)!|n|!n???n????z?2z?n1e?1?z??...??...??z?n2!n!n?0n!由以上两式得出?1?1?n?1?n1?nX(z)=1+?z??z?1??zn!n!|n|!n=-?n?0n???-11z0z1zz1z 最后得1x(n)=?(n)+,???n??|n|! 2.24 试确定X(z)=z是否代表某个序列得Z变换，请说明理由 解 不能，因为，如果X（z）能代表某个序列得Z变换，则X（z）必须在收敛域内试解析函数。但是，现在x（z）＝u（x，y）＋jv（x，y）＝z＝x－jy，显然有 **?u?v?1???1，即X（z）不满足柯西－黎?x?y曼！方程，因此X（z）不是解析函数，故X（z）不能代表某个序列得Z变换。 2.25 如果X（z）是x(n)得Z变换，证明： （1）z ?mX(z)是x(n-m)的Z变换 （2）X(a（3）?z?1z)是ax(n)的Z变换 ndX(x)是nx(n)的Z变换 dz?n解 (1)?x(n?m)zn=-???n=-??x(n)z??(n?m)?z?mn=-???x(n)z??n?z?mX(z)(2)?anx(n)z?n?n=-??n=-??x(n)(a? ?1z)?n?X(a?1z)(3)?nx(n)zn=-??nd?d??z?x(n)z?n??zX(z)dzn=-?dz 2.26证明 (1) n??????x(n)z*?n?[?x(n)(z*)?n]*?X*(z*) n?????(2)(3) n????x(?n)z?n?n????x(n)(z??1?n)?X(z?1) n????Re[x(n)]z???n?11?1*?n?n??[x(n)?x(n)]z?[?x(n)z??x*(n)z?n]?[X(z)?X*(z*)](4 2n???2n???2n???) n????Im[x(n)]z?n?11?1*?n?n??[x(n)?x(n)]z?[?x(n)z??x*(n)z?n]?[X(z)?X*(z*)]2jn???2jn???2jn???? 2.27解X(z)?1,|z|?1 ?11?z1Y(z)?,|z|?a ?11?azW(z)?X(z)Y(z)?其中A1?A1A21???W1(z)?W2(z) ?1?1?1?1(1?z)(1?az)1?z1?az11|? ?1z?11?az1?a A2?11?a|?? z?a1?z?11?a?11?a由于x(n)和y(n)都是因果序列，故w(n)亦是因果序列，因果序列，因而W(z)的收敛域为|z|>1。这样，W1(z)的收敛域应为|z|>1，而W2(z)的收敛域为|z|>a。这意味着W1(z)和W2(z)都对应于因果序列，因此可用长除法分别将W1(z)和W2(z)展开成z的负幂级数，即 11??n?1?2W1(z)?(1?z?z?…?…)??z 1?a1?an????a?a?n?n?12?2n?nW2(z)?(1?az?az?…?az?…)?az ?1?a1?an?0由上二式得到 ?1(n)?1?anu(n)，?2(n)?au(n) 1?a1?a最后得到 1?an?1?(n)??1(n)??2(n)?u(n) 1?a2.29(1)因为系统是因果的，所以收敛域为|a|?|z|??；为使系统稳定，必须要求收敛域包含单位圆，即要 求|a|?1。极点为z?a，零点为z?a，收敛域|a|?|z|??。极－零点图和收敛域示于图1.7。 ?11?a?1e?j? (2)H(e)? 1?ae?j?j? 1?j?2?1?a?1e?j?1?a?1e?j?*1?a?e1?a?e1j?1?a??a(e1j??e?j?)|H(e)|?()()?()()??j??j??j?j?1?ae1?ae1?ae1?ae1?a2?a(ej??e?j?)j?2?1?a?2acos?a(a?1?2acos?)??a?2221?a?acos?1?a?acos??2?1?22因此 得到|H(ej?)|?a?1，即系统的幅度特性为一常数，所以该系统是一个全通系统。 2.30(1)根据极－零点图得到x(n)的Z变换 X(z)?z?11(z?)(z?2)(z?3)3 因傅里叶变换收敛，所以单位圆在收敛域内，因而收敛域为 1?|z|?2。故x(n)是双边序列。 3 (2)因为x(n)是双边序列，所以它的Z变换的收敛域是一个圆环。根据极点分布情况，收敛域有两种可 能： 1?|z|?2或2?|z|?3。 3 采用留数定理法求对应的序列。被积函数为 X(z)zn?1?z?11(z?)(z?2)(z?3)311 对于收敛域?|z|?2，被积函数有1个极点z?在积分围线内，故得 331(z?1)zn?1 x(n)?RseX[z(z)?,]1?|z?3(z?2)z(?3)3?1zn?1 1n0.n9?() ,30 被积函数有2个极点z1?2和z2?3在积分围线外，又因分母多项式的阶比分子多项式的阶高 3?n?2(因n<0)，故 x(n)??Res[X(z)z n?1,z1]?Res[X(z)zn?1?(z?1)zn?1(z?1)zn?1,z2]?|z?2?|z?311(z?)(z?3)(z?)(z?2)最后得到 33?0.9?2n?0.5?3n,n?01n?0.9()n,?0? x(n)?? 3?0.9?2n?0.5?3n,n?0? 或x(n)?0.9()u(n)?(0.9?2?0.5?3)u(?n?1) 对于收敛域2?|z|?3，被积函数有2个极点z1?13nnn1和z2?2在积分围线内，故 3x(n)?Res[X(z)z n?1,z1]?Res[X(z)zn?1(z?1)zn?1(z?1)zn?1,z2]?|1?|z?2(z?2)(z?3)z?3(z?1)(z?3)被积函数有31?0.9?()n?0.9?2n,n?031个极点z?3在积分围线外，又因分母多项式的阶比分子多项式的阶高3?n?2(因n<0)，故 eX[z(z) x(n)??Rs?1?(z?1z)n?1?,3]|z?3??1(z?)z(?2)3n?0.n5?3 ,01n?0.9()?0.9?2n,n?0? 最后得x(n)?? 3??0.5?3n,n?0?) x(n)?0.9[(?13nnnu2n]?()?0.u5?3n? (1)11，所以收敛域为|z|?。因222.31因系统稳定，所以单位圆必须在收敛域内。由于系统的极点为z?limH(z)??，故该系统不是因果系统。 z??2.32(1)?(n)???(n?1)?x(n)，y(n)??(n)??(n?1)