求OD的长．
【考点】MR：圆的综合题．
【分析】（1）由△AOB≌△AOC，推出∠C=∠B，由OA=OC，推出∠OAC=∠C=∠B，由∠ADO=∠ADB，即可证明△OAD∽△ABD；
（2）如图2中，当△OCD是直角三角形时，可以证明△ABC是等边三角形即可解决问题； （3）如图3中，作OH⊥AC于H，设OD=x．想办法用x表示AD、AB、CD，再证明AD2=AC?CD，列出方程即可解决问题； 【解答】（1）证明：如图1中，
在△AOB和△AOC中， ????=???? ????=????， ????=????
∴△AOB≌△AOC， ∴∠C=∠B， ∵OA=OC，
∴∠OAC=∠C=∠B，∵∠ADO=∠ADB， ∴△OAD∽△ABD．
（2）如图2中，
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∵BD⊥AC，OA=OC， ∴AD=DC， ∴BA=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
在Rt△OAD中，∵OA=1，∠OAD=30°，
11∴OD=OA=，
22
∴AD= ????2?????2=
3， 2
∴BC=AC=2AD= 3．
（3）如图3中，作OH⊥AC于H，设OD=x．
∵△DAO∽△DBA，
????????????∴==， ??????????????????1∴==， ??+1????????
??(??+1)∴AD= ??(??+1)，AB=，
??
∵S2是S1和S3的比例中项， ∴S22=S1?S3，
111
∵S2=AD?OH，S1=S△OAC=?AC?OH，S3=?CD?OH，
222
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11
∴（AD?OH）=?AC?OH??CD?OH，
222
2
1
∴AD2=AC?CD，
??(??+1)∵AC=AB．CD=AC﹣AD=﹣ ??(??+1)，
??
∴（ ??(??+1)）2=
??(??+1) ??(??+1)?（﹣ ??(??+1)）， ????
整理得x2+x﹣1=0，
5?1? 5?1
解得x=或，
22 5?1
经检验：x=是分式方程的根，且符合题意，
2
5?1∴OD=．
2
【点评】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、比例中
项等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
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