2015年
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 22．（6分）（2015?内江）在△ABC中，∠B=30°，AB=12，AC=6，则BC= 6 ． 考点： 含30度角的直角三角形；勾股定理． 分析： 由∠B=30°，AB=12，AC=6，利用30°所对的直角边等于斜边的一半易得△ABC是直角三角形，利用勾股定理求出BC的长． 解答： 解：∵∠B=30°，AB=12，AC=6， ∴△ABC是直角三角形， ∴BC=故答案为：6．° ==6， 点评： 此题考查了含30°直角三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 23．（6分）（2015?内江）在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，2）作直线l：y=x+b（b为常数且b＜2）的垂线，垂足为点Q，则tan∠OPQ=
．
考点： 一次函数图象上点的坐标特征；解直角三角形． 分析： 设直线l与坐标轴的交点分别为A、B，根据三角形内角和定理求得∴∠OAB=∠OPQ，根据一次函数图象上点的坐标特征求得tan∠OAB=，进而就可求得． 解答： 解：如图，设直线l与坐标轴的交点分别为A、B， ∵∠AOB=∠PQB=90°，∠ABO=∠PBQ， ∴∠OAB=∠OPQ， 由直线的斜率可知：tan∠OAB=， ∴tan∠OPQ=； 故答案为． 点评： 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，求得∠OAB=∠OPQ是解题的关键． 24．（6分）（2015?内江）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接OH，FH，EG与FH交于点M，对于下面四个结论：①CH⊥BE；②HO④EM：MG=1：（1+
BG；③S正方形ABCD：S正方形ECGF=1：
；
），其中正确结论的序号为 ② ．
考点： 四边形综合题． 分析： 证明△BCE≌△DCG，即可证得∠BEC=∠DGC，然后根据三角形的内角和定理证得∠EHG=90°，则HG⊥BE，然后证明△BGH≌△EGH，则H是BE的中点，则OH是△BGE的中位线，根据三角形的中位线定理即可判断②．根据△DHN∽△DGC求得两个三角形的边长的比，则③④即可判断． 解答： 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=DC，∠BCE=90°， 同理可得CE=CG，∠DCG=90°， 在△BCE和△DCG中， ， ∴△BCE≌△DCG， ∴∠BEC=∠DGC， ∵∠EDH=∠CDG，∠DGC+∠CDG=90°， ∴∠EDH+∠BEC=90°， ∴∠EHD=90°， ∴HG⊥BE，则CH⊥BE错误， 则故①错误； ∵在△BGH和△EGH中，∴△BGH≌△EGH， ∴BH=EH， 又∵O是EG的中点， ∴HOBG， ， 故②正确； 设EC和OH相交于点N． 设HN=a，则BC=2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC=b，CD=2a， ∵OH∥BC， ∴△DHN∽△DGC， ∴解得：a=则， ）=2，即或a=，即a+2ab﹣b=0， （舍去）， 22则S正方形ABCD：S正方形ECGF=（∵EF∥OH， ∴△EFM∽△OMH， ∴∴∴=，==， =，故③错误； ．故④错误． 故正确的是②． 故答案是：②． 点评： 本题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确求得两个三角形的边长的比是解决本题的关键． 25．（6分）（2015?内江）已知实数a，b满足：a+1=，b+1=，则2015
2
2
|a﹣b|
= 1 ．
考点： 因式分解的应用；零指数幂． 分析： 2222由于a+1=，b+1=，两式相减可得a﹣b=﹣，则有（a+b）（a﹣b）=，分解因式可得a=b，依此可得2015求解． 解答： 22解：∵a+1=，b+1=， 两式相减可得a﹣b=﹣， （a+b）（a﹣b）=， 22|a﹣b|=2015，再根据零指数幂的计算法则计算即可0[ab（a+b）+1]（a﹣b）=0， ∴a﹣b=0，即a=b， ∴2015=2015=1． 故答案为：1． 点评： 考查了因式分解的应用，零指数幂，本题关键是得到a=b． 五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分，解答时应写出必要的文字说明或演算步骤） 26．（12分）（2015?内江）（1）填空： （a﹣b）（a+b）= a﹣b ；
2233
（a﹣b）（a+ab+b）= a﹣b ；
322344
（a﹣b）（a+ab+ab+b）= a﹣b ． （2）猜想：
（a﹣b）（a+ab+…+ab+b）= a﹣b （其中n为正整数，且n≥2）． （3）利用（2）猜想的结论计算： 98732
2﹣2+2﹣…+2﹣2+2． 考点： 平方差公式． 专题： 规律型． 分析： （1）根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可； （2）根据（1）的规律可得结果； （3）原式变形后，利用（2）得出的规律计算即可得到结果． 22解答： 解：（1）（a﹣b）（a+b）=a﹣b； 2232222333（a﹣b）（a+ab+b）=a+ab+ab﹣ab﹣ab﹣b=a﹣b； 3223432233223444（a﹣b）（a+ab+ab+b）=a+ab+ab+ab﹣ab﹣ab﹣ab﹣b=a﹣b； 223344故答案为：a﹣b，a﹣b，a﹣b； （2）由（1）的规律可得： nn原式=a﹣b， nn故答案为：a﹣b； |a﹣b|022
n﹣1n﹣2n﹣2n﹣1nn
（3）2﹣2+2﹣…+2﹣2+2=（2﹣1）（2+2+2+2+2）=342． 点评： 此题考查了多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键． 987328642 27．（12分）（2015?内江）如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．
（1）试说明CE是⊙O的切线；
（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；
（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．
考点： 圆的综合题；线段的性质：两点之间线段最短；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值． 专题： 综合题． 分析： （1）连接OC，如图1，要证CE是⊙O的切线，只需证到∠OCE=90°即可； （2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，在Rt△OHC中运用三角函数即可解决问题； （3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，易证四边形AOCF是菱形，根据对称性可得DF=DO．过点D作DH⊥OC于H，易得DH=DC，从而有CD+OD=DH+FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，然后在Rt△OHF中运用三角函数即可解决问题． 解答： 解：（1）连接OC，如图1， ∵CA=CE，∠CAE=30°， ∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°， ∴∠OCE=90°， ∴CE是⊙O的切线； （2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，