(a)若有不全为零的数k1,k2,??,ks，使得k1?1?k2?2???ks?s?0，则
?1,?2,??,?s线性无关
(b)若有不全为零的数k1,k2,??,ks，使得k1?1?k2?2???ks?s?0，则
?1,?2,??,?s线性无关
(c)若?1,?2,??,?s线性相关，则其中每个向量均可由其余向量线性表示 (d)任何n?1个n维向量必线性相关
10. 设?是向量组?1?(1,0,0)T，?2?(0,1,0)T的线性组合，则?=（ ）
(a)(0,3,0)T (b)(2,0,1)T (c)(0,0,1)T (d)(0,2,1)T
二、填空题
1. 若?1?(1,1,1)T，?2?(1,则t=▁▁▁▁。 2,3)T，?3?(1,3,t)T线性相关，
2. n维零向量一定线性▁▁▁▁关。
3. 向量?线性无关的充要条件是▁▁▁▁。
4. 若?1,?2,?3线性相关，则?1,?2,??,?s(s?3)线性▁▁▁▁关。 5. n维单位向量组一定线性▁▁▁▁。 6. 设向量组?1,?2,??,?s的秩为r,则
是它的极大线性无关组。 7. 设向量?1?(1,?1,?2,??,?s中任意r个▁▁▁▁的向量都
0,1)T与?2?(1,1,a)T正交，则a?▁▁▁▁。
8. 正交向量组一定线性▁▁▁▁。
9. 若向量组?1,?2,??,?s与?1,?2,??,?t等价，则?1,?2,??,?s的秩与
?1,?2,??,?t的秩▁▁▁▁。
10. 若向量组?1,?2,??,?s可由向量组?1,?2,??,?t线性表示，则r(?1,?2,??,?s)
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▁▁▁▁r(?1,?2,??,?t)。 11. 向量组?1??a1,1,性关系是▁▁▁▁。 12. 设?1?(0,TTT0,0?，?2??a2,1,1,0?，?3??a3,1,1,1?的线
y,?12)T，?2?(x,0,0)T，若?和?是标准正交向量，则x和y
的值▁▁▁▁. 三、计算题
1. 设?1?(1??,1,1)T，?2?(1,1??,1)T，?3?(1,1,1??)T，
??(0,?,?2)，问
（1）?为何值时，?能由?1,?2,?3唯一地线性表示？
（2）?为何值时，?能由?1,?2,?3线性表示，但表达式不唯一？ （3）?为何值时，?不能由?1,?2,?3线性表示？ 解：设??x1?1?x2?2?x3?3
T?(1??)x1?x2?x3?0? 则对应方程组为?x1?(1??)x2?x3??
?x?x?(1??)x??223?11?? 其系数行列式A?11??1111????2(??3)
11（1）当??0,???3时，A?0，方程组有唯一解，所以?可由?1,?2,?3唯一地线性表示;
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?1110??1110?????（2）当??0时，方程组的增广阵 A??1110???0000?，
?1110??0000?????r(A)?r(A)?1?3，方程组有无穷多解，所以?可由?1,?2,?3线性表示，但表示
式不唯一;
（3）当???3时，方程组的增广阵
10???21?1?21?3?????A??1?21?3???0?33?12?，r(A)?r(A)，方程组无解，
?1?000?18?1?29?????所以?不能由?1,?2,?3线性表示。 2. 设?1?(1,0,2,3)T，?2?(1,1,3,5)T，?3?(1,1,a?2,1)T，
?4?(1,2,4,a?8)T，??(1,1,b?3,5)T问：
（1）a,b为何值时，?不能表示为?1,?2,?3,?4的线性组合？ （2）a,b为何值时，?能唯一地表示为?1,?2,?3,?4的线性组合？ 解:以?1,?2,?3,?4,?为列构造矩阵
?1??0?2??3??1?1111???01121??0??3a?24b?3???51a?85??0??111112a?101?41?a200?41??1?0? ??b???不能表示为?1,?2,?3,?4的线性组合； （1）当a??1且b?0时，?能唯一地表示为?1,?2,?3,?4的线性组合。 （2）当a??1,b任意时，3. 求向量组?1?(1,?1,0,4)T，?2?(2,1,5,6)T，?3?(1,2,5,2)T，
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?4?(1,?1,?2,0)T，?5?(3,0,7,14)T的一个极大线性无关组，并
将其余向量用该极大无关组线性表示。
?1???1解：(?1,?2,?3,?4,?5)??0??4?2156113??1??2?10??0?5?27??0???2014???00?111000002??01? ?1?1?00???1,?2,?4为一个极大无关组，且?3???1??2?0?4, ?5?2?1??2??4
4. 设?1?(1,1,1)T，?2?(1,2,3)T，?3?(1,3,t)T，t为何值时?1,?2,?3线性相关，
t为何值时?1,?2,?3线性无关？
111解：?1,?2,?3?123?t?5，
13t当t?5时?1,?2,?3线性相关，当t?5时?1,?2,?3线性无关。
四、证明题
1. 设?1??1??2,?2?3?2??1,?3?2?1??2，试证?1,?2,?3线性相关。 .证：∵3(?1??2)?4(2?1??3)?0
∴?5?1?3?2?4?3?0 ∴?1,?2,?3线性相关
2. 设?1,?2,??,?s,?线性相关，而?1,?2,??,?s线性无关，证明?能由
?1,?2,??,?s线性表示且表示式唯一。
证：∵?1,?2,??,?s,?线性相关 14
∴存在不全为零的数k1,k2,??,ks,k使得k1?1?k2?2????ks?s?k??0
若k?0，则k1?1?k2?2????ks?s?0，（k1,k2,??,ks不全为零） 与?1,?2,??,?s线性无关矛盾 所以k?0 于是???k1kk??k21k?2????sk?s ∴?能由?1,?2,??,?s线性表示。 设??k1?1?k2?2????ks?s ①
??l1?1?l2?2????ls?s ②
则①-②得(k1?l1)?1?(k2?l2)?2????(ks?ls)?s?0 ∵?1,?2,??,?s线性无关 ∴ki?li?0,(i?1,2,?,s)
∴ki?li,(i?1,2,?,s) 即表示法唯一
3. 设?1,?2,?3线性相关，?2,?3,?4线性无关，求证?4不能由?1,?2,?3线性表示。证：假设?4能由?1,?2,?3线性表示
∵?2,?3,?4线性无关，∴?2,?3线性无关
∵?1,?2,?3线性相关，∴?1可由?2,?3线性表示， ∴
?4能由?2,?3线性表示，从而?2,?3,?4线性相关，矛盾
∴?4不能由?1,?2,?3线性表示。
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