?0?10???0?，1．负号； 2．1； 3．0； 4．??10或?E(1,2)； 5．唯一解（或只有零解）；
??00?1???a1b1c1?6．线性相关； 7．-27； 8．2； 9．??abc??222 10．3. ?a3bc?；33??
三、计算题（一）（共4小题，每题8分，共计32分） 1、解：按照第一行展开得到
1000110011000110Dn??(?1)n?1?1?(?1)n?100100001100110001???2， n为奇数?0， n为偶数 ………8分
2、解：
?200100?（1）?1(AE)??0100010?02分 ?? 0………?00220010???00120001?????1200100?100010?0?10001?20??0???0?011001? ??0100010?0?0?02010001?? ??0????0?00100?1???000100?1?1??02??1?2??1 31
??1?200?所以 0100?A?1?????1? ………5分 ?001???1?00?21???（2）A?1?E(1,2(?2))E(3,4(?1))E(4,3(?1))E(3(12)) ………8分
3、解：方法一：由AX?2X?B, 得到(A?2E)X?B，?10?1100(A?2E,E)????110010???1?11001?
????100111????010?10?1?? ……5分 ??001011???所以，A?2E可逆，X?(A?2E?)1B=?22???2?1??. ……8分 ??11??方法二：由AX?2X?B, 得到(A?2E)X?B， ……2分
用初等行变换求X
?10?11(A?2E,B)??1??11001????1?1110?
???1002??2??010?2?1?? ……6分 ??00111??32
……2
分
?22???所以，A?2E可逆， X?(A?2E)?1B=??2?1?. ……8分
??11??
4、 f=x221?2x3?2x1x3?2x2x3
=(x1?x3)2?(x2?x3)2?x22 ………6分
?y1?x1?x令 ?3?y2?x2?x3 即可逆线性变换为
??y3?x2??x1?y1?y2?y3?x2?y3. ………8分 ??x3?y3?y2
四、计算题（二）（共3小题，每题10分，共计30分） 1、解：由
??3211?30?r(A,b)??012263???111111?????? ??5433?1a?????111111???012263???00000a?2??
??000000???方程组有无穷多组解，所以r(A)?r(A,b)?2，故a?2 ……4分
33
?1?0r(A,b)???0??0?0100?1?1?5?2??2263? 原方程组等价于方程组
0000??0000???x1??2?x3?x4?5x5 ??x2?3?2x3?2x4?6x5取x3?x4?x5?0，得到特解??(?2,3,0,0,0)T ……7分
?x3??1??0??0?????????令?x4???0?,?1?,?0?，分别代入等价方程组的齐次线性方程组中求得基础解系为 ?x??0??0??1??5????????1?(1,?2,1,0,0)T，?2?(1,?2,0,1,0)T，?3?(5,?6,0,0,1)T
方程组的全部解为
x???k1?1?k2?2?k3?3 其中k1,k2,k3为任意常数
……10分
2、解：初等行变换矩阵(?1,?2,?3,?1,?2)到行最简梯矩阵为
?1? (?,?,?,?,?)???112312?0??4?21561?1?20?113???20?? ?0?057????0214???00?11001001002??1? ?1??0?? ……6分 可得到?1,?2能由?1,?2,?3线性表示，且
?1???1??2,?2?2?1??2??3
向量组?1,?2,?3,?1,?2的一个极大无关组为?1,?2,?3 ……10分 3、解：
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??4?2?2?E?A??2??4?2?(??8)(??2)2 ………4分
?2?2??4得到矩阵A的全部特征值为?1??2?2,?3?8 当?1??2?2时，由(2E?A)x?0得一个基础解系
?1?(?1,1,0)T,?2?(?1,0,1)T
正交化,单位化?1161?(?2,2,0)T，?2?(?6,?66,63)T …7分 当?3?8时，由(8E?A)x?0的一个基础解 ?3?(1,1,1)T
将其单位化得?13?(3,13,13)T ………9分 ???1?61??263??则正交阵P?(?)???1?61?1,?2,?3，6使P?1??23?AP?B， ??61??03??3???相应的对角阵为 ???200??020?? ……10分
??008??五、证明题（共2小题，每题4分，共计8分）
1、证明： A(k1?1?k2?2)?Ak1?1?Ak2?2?k1A?1?k2A?2 因为 A?1???11,A?2??2?2 A(k1?1?k2?2)?k1??11?k2?2?2 而?1??2
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