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?2??2而 2?2[sin(kx)sin(ly)e?hz]??k2sin(kx)sin(ly)e?hz
?x?x?2??2?hz2?hz?[sin(kx)sin(ly)e]??lsin(kx)sin(ly)e 22?y?y?2??2?hz2?hz ?[sin(kx)sin(ly)e]?hsin(kx)sin(ly)e22?z?z2?hz?h)sikxn()lysien(?) 0故 ?2??(?k2?l21????2??2?(r)?22?2 （2）在圆柱坐标系中 ???r?r?rr???z而 1???1??(r)?{rrn[cos(n?)?Asin(n?)]}?n2rn?2[cos(n?)?Asin(n?)] r?r?rr?r?r1?2???n2rn?2[cos(n?)?Asin(n?)]} 22r???2??2?n?2r[cos(n?)?Asin(n?)]?0 2?z?z故 ?2??0
1???1??(r)?{r[r?ncos(n?)]}?n2r?n?2cos(n?) （3）
r?r?rr?r?r1?2?2?n?2??nrcos(n?) 22r???2??2?n?[rcos(n?)]?0 ?z2?z2故 ?2??0
（4）在球坐标系中 1?2??1???1?2?2???2(r)?2(sin?)?22 2r?r?rrsin?????rsin???1?2??1??2)?2[r2(rcos?)]?cos? 而 2(rr?r?rr?r?rr1???1??(sin?)?[sin?(rcos?)]? 22rsin?????rsin?????1?22(?rsin?)??cos? 2rsin???r221??1??(rcos?)?0 222222rsin???rsin???故 ?2??0
1?2??1?2??22)?2[r(rc?os?)]2? cos（5） 2(rr?r?rr?r?rr1???1???2(sin?)?[sin?(rcos?)]? 22rsin?????rsin?????2
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1?2?1?2?2?22(rcos?)?0 2222rsin???rsin???故 ?2??0
3.14 已知y?0的空间中没有电荷，下列几个函数中哪些是可能的电位的解?
（1）e?ycoshx； （2）e?ycosx； （3）e?2ycosxsinx （4）sinxsinysinz。
?2?y?2?y?2?y解 （1）2(ecoshx)?2(ecoshx)?2(ecoshx)?2e?ycoshx?0
?x?y?z所以函数e?ycoshx不是y?0空间中的电位的解；
?2?y?2?y?2?y（2） 2(ecosx)?2(ecosx)?2(ecosx)??e?ycosx?e?ycosx?0
?x?y?z所以函数e?ycosx是y?0空间中可能的电位的解；
1?2?22(?rsin?)??cos? 24rsin???r?2?2ye(cxos?xsin2)e(xco?ssin) x?z?4e?2ycosxsinx?2e?2ycosxsinx?0
所以函数e?2ycosxsinx不是y?0空间中的电位的解；
?2?2?2nsiynsz?in)x(sinysi?znsin)xy(si?n zsinsin)（4） 2(six?x?y2?z2?3sinxsinysinz?0
所以函数sinxsinysinz不是y?0空间中的电位的解。
3.15 中心位于原点，边长为L的电介质立方体的极化强度矢量为P?P（1）计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；（2）证明0(exx?eyy?ezz)。总的束缚电荷为零。
?P?3?P解 （1） ?P???0 LL?P(x?)?n?Px?L2?ex?Px?L2?P0
22LL?P(x??)?n?Px??L2??ex?Px??L2?P0
22LLLLL?Pz(?)??Pz(??)0? P同理 ?P(y?)??P(y??)?22222L32q??d???dS??3PL?6L?P0?0 （2） P?PP0??2?S3.16 一半径为R0的介质球，介电常数为?r?0，其内均匀分布自由电荷?，
2y?2y?2?（3） 2(e?x?2cosxsixn?)2?y2?r?1?2()R0 证明中心点的电位为
2?r3?0
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?D?dS?q，可得到 解 由?S4?r3r?R0时， 4?rD1??
3D1?r?r? 即 D1?， E1???3??3r0r034?R02r?R0时， 4?rD2??
33D1?R0?R03?即 D2?2 ， E2?2 ?03?0r3r故中心点的电位为
R0R0??22?R03?r?R?R2?r?1?2 00?(0)??E1dr??E2dr??dr??dr???()R203?r?03?0r0R00R06?r?03?02?r3?03.17 一个半径为R的介质球，介电常数为?，球内的极化强度P?erKr，
计算束缚电荷体密度和面密度； 计算自由电荷密度；其中K为一常数。（1）（2）
（3）计算球内、外的电场和电位分布。
解 （1） 介质球内的束缚电荷体密度为
1dKK?p????P??2(r2)??2
rdrrrK在r?R的球面上，束缚电荷面密度为 ?p?n?Pr?R?er?Pr?R?
R?0?E???P???D???P （2）由于D??0E?P，所以 ??D??0???0(1?)??D???P 即
?由此可得到介质球内的自由电荷体密度为
???K????D???P???p?2 ???0???0(???)r02?KR14??RK2q??d??4?rdr? 总的自由电荷量 2?????r???000?（3）介质球内、外的电场强度分别为 PKE1??er (r?R)
???0(???0)rq?RKE2?er?e (r?R) r4??0r2?0(???0)r2介质球内、外的电位分别为
?R??1??E?dl??E1dr??E2dr?
rrK?RKdr?dr? 2??(???)r?(???)r00rR0RR?
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KR?Kln? (r?R)
(???0)r?0(???0)???2??E2dr??r?RK?RKdr? (r?R) 2?(???)r?(???0)r00r03.18 （1）证明不均匀电介质在没有自由电荷密度时可能存在束缚电荷体密
度；（2）导出束缚电荷密度?P的表达式。
解 （1）由D??0E?P，得束缚电荷体密度为 ?P????P????D??0??E
在介质内没有自由电荷密度时，??D?0，则有 ?P??0??E
?(?E)????E?E???0 ?由于D??E，有 ??D??E??? 所以 ??E???由此可见，当电介质不均匀时，??E可能不为零，故在不均匀电介质中可能存在束缚电荷体密度。
??? （2）束缚电荷密度?P的表达式为 ?P??0??E??0E??3.19 两种电介质的相对介电常数分别为?r1=2和?r2=3，其分界面为z=0平面。如果已知介质1中的电场的
E1?ex2y?ey3x?ez(5?z)
那么对于介质2中的E2和D2，我们可得到什么结果？能否求出介质2中任意点的E2和D2？
解 设在介质2中
E2(x,y,0)?exE2x(x,y,0)?eyE2y(x,y,0)?ezE2z(x,y,0)
D2??0?r2E2?3?0E2
(D1?D2)?0，可得 在z?0处，由ez?(E1?E2)?0和ez???ex2y?ey3x?exE2x(x,y,0)?eyE2y(x,y,0) ?
2?5??3?E(x,y,0)?002z?于是得到 E2x(x,y,0 y?)2E2y(x,y,0)??3x
E2z(x,y,0)?103
故得到介质2中的E2和D2在z?0处的表达式分别为 E2(x,y,0)?ex2y?ey3x?ez(103)
D2(x,y,0)??0(ex6y?ey9x?ez10) 不能求出介质2中任意点的E2和D2。由于是非均匀场，介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。
3.20 电场中一半径为a、介电常数为?的介质球，已知球内、外的电位函数分别为
???03cos??1??E0rcos??aE02 r?a
??2?0r
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3?0Ercos? r?a
??2?00验证球表面的边界条件，并计算球表面的束缚电荷密度。
解 在球表面上
???03?0?(a,?)??Eacos??aEcos???Eacos? 10??2?00??2?003?0?2(a,?)??E0acos?
??2?02(???0)??13???Ecos??Ecos???E0cos? r?a00?r??2?0??2?03?0??2??Ecos? r?a?r??2?00??1??2?(a,?)??(a,?)???故有 1， 02r?ar?a
?r?r可见?1和?2满足球表面上的边界条件。 球表面的束缚电荷密度为
3?(???0)??E0cos? ?p?n?P2r?a?(???0)er?E2??(???0)2r?a?0?r??2?03.21 平行板电容器的长、宽分别为a和b，极板间距离为d。电容器的一
d半厚度(0~)用介电常数为?的电介质填充，如题3.21图所示。
2(1)(1) 板上外加电压U0，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷；
(2)(2) 若已知板上的自由电荷总量为Q，求此时极板间电压和束缚电荷； (3)(3) 求电容器的电容量。
设介质中的电场为E?ezE，解 （1）空气中的电场为E0?ezE0。由D?D0，
有
?E??0E0
z 又由于 ddE?E0??U0 d2 22U0 d2由以上两式解得 ? 2?0U0E?? ，
(???)d0 题 3.21图
2?U0
E0??
(???0)d2?0?U0???E?? 故下极板的自由电荷面密度为 下(???0)d2?0?U0????E? 上极板的自由电荷面密度为上00(???0)d2?0(???0U)0 电介质中的极化强度 P?(???0)E??ez(???0)d?2??