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2?0(???0U)0
(???0)d2?0(???0U)0 上表面上的束缚电荷面密度为 ?p上?ez?P??(???0)d2?0?UQ? （2）由 ??ab(???0)dE0 (???0)dQU? 得到 ?1 2??ab0?2 (???0)QE ?? ?故p下?ab(???0)Q?0 ? E0
?p上??
?ab2?0?abQC?? 3 （）电容器的电容为题3.22图 U(???0)d
3.22 厚度为t、介电常数为??4?0的无限大介质板，放置于均匀电场E0中，板与E0成角?1，如题3.22图所示。求：（1）使?2??4的?1值；（2）介质板两表面的极化电荷密度。
tan?1?0? 解 （1）根据静电场的边界条件，在介质板的表面上有
tan?2??21?1?tan?1?0?1?tan?tan?? 14由此得到 ?1?tan0??4 （2）设介质板中的电场为E，根据分界面上的边界条件，有?0E0n??En，即
?0E0cos?1??En
?1?co?s?E0cos 14所以 En?0E01?4介质板左表面的束缚电荷面密度
3?p??(???0)En???0E0cos?1?4?0?.7E02 8043??(???)E??0E0cos?1?40?.7E介质板右表面的束缚电荷面密度 p0n02 8043.23 在介电常数为?的无限大均匀介质中，开有如下的空腔，求各腔中的E0和D0：
（1）平行于E的针形空腔；
（2）底面垂直于E的薄盘形空腔； （3）小球形空腔（见第四章4.14题）。
解 （1）对于平行于E的针形空腔，根据边界条件，在空腔的侧面上，有E0?E。故在针形空腔中
E0?E，D0??0E0??0E
（2）对于底面垂直于E的薄盘形空腔，根据边界条件，在空腔的底面上，有D0?D。故在薄盘形空腔中
D?ED0?D??E，E0?0?
?0?0故下表面上的束缚电荷面密度为 ?p下??ez?P?
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3.24 在面积为S的平行板电容器内填充介电常数作线性变化的介质，从一极板(y?0)处的?1一直变化到另一极板(y?d)处的?2，试求电容量。
解 由题意可知，介质的介电常数为 ???1?y(?2??)1d 设平行板电容器的极板上带电量分别为?q，由高斯定理可得
qDy???
SDyqEy??
?[?1?y(?2??1)d]Sdd所以，两极板的电位差 U??Eydy??0?qqddy?ln2
[?1?y(?2??)S(??1d]S2?)1?10故电容量为 C?S(?2??1)q? Udln(?2?1)3.25 一体密度为??2.32?10?7Cm3的质子束，束内的电荷均匀分布，束直径为2mm，束外没有电荷分布，试计算质子束内部和外部的径向电场强度。
122?rE??r? 解 在质子束内部，由高斯定理可得 r?0?r2.32?10?7r4?3??1.31?10rVm (r?10 )m故 Er??122?02?8.854?10在质子束外部，有 2?rEr?1?02?a?
?a22.32?10?7?10?6?21?3??1.31?10Vm (r?10 )m故 Er??122?0r2?8.854?10rr3.26 考虑一块电导率不为零的电介质(?,?)，设其介质特性和导电特性都是
不均匀的。证明当介质中有恒定电流J时，体积内将出现自由电荷，体密度为??J??(??)。试问有没有束缚体电荷?P？若有则进一步求出?P。
?????(??) 对于恒定电流，有??J?0，故得到 ??J?介质中有束缚体电荷?P，且
)J??(?)??J 解 ????D???(?E)???(J????J?P????P????D??0??E??J??()??0??()???????0??J??()?J??(0)??J??()
???3.27 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导体内半径为c，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为?1和?2，电导率为?1和?2。设内导体的电压为U0，外导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分
布；（2）介质分界面上的自由电荷面密度；（3）同轴线单位长度的电容及漏电阻。
解 （1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I，则由?J?dS?I，可得电
S流密度
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I
(a?r?c)
2?rJI (a?r?b) 介质中的电场 E1??er?12?r?1JI (b?r?c) E2??er?22?r?2J?erbc由于 U0??E1?dr??E?2dr?abI2??1lnbIc?ln a2??2b2??1?U20
?2ln(ba)??1ln(cb)故两种介质中的电流密度和电场强度分别为
?1?2U0 (a?r?c) J?err[?2ln(ba)??1ln(cb)]?2U0 (a?r?b) E1?err[?2ln(ba)??1ln(cb)]?1U0 (b?r?c) E2?err[?2ln(ba)??1ln(cb)] （2）由??n?D可得，介质1内表面的电荷面密度为
?1?2U0 ?1??1er?E1r?a?a[?2ln(ba)??1ln(cb)]介质2外表面的电荷面密度为
于是得到 I??2???2er?E2r?c??两种介质分界面上的电荷面密度为
?2?1U0
c[?2ln(ba)??1ln(cb)]??(?1?2??2?1)U0 ?12??(?1er?E1??2er?E2)r?bb[?2ln(ba)??1ln(cb)]U?ln(ba)??1ln(cb) （3）同轴线单位长度的漏电阻为 R?0?2
I2??1?22??1?2 由静电比拟，可得同轴线单位长度的电容为 C??2ln(ba)??1ln(cb)3.28 半径为R1和R2(R1?R2)的两个同心的理想导体球面间充满了介电常数为?、电导率为???0(1?Kr)的导电媒质(K为常数)。若内导体球面的电位为
（1）媒质中的电荷分布；（2）两个理想导体球面U0，外导体球面接地。试求：
间的电阻。
解 设由内导体流向外导体的电流为I，由于电流密度成球对称分布，所以 4?rJI电场强度 E??er?4??0(r?K)rR2J?erI2(R1?r?R2)
(R1?r?R2)
R2由两导体间的电压 U0?R1?E?dr?R1?I?R(R?K)?I dr?ln?21?4??0(r?K)r4??0K?R1(R2?K)?
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4??0KU0可得到 ?R(R?K)?
ln?21??R1(R2?K)??0KU0J?er所以 ?R2(R1?K)? 2rln???R1(R2?K)?I????J??()?媒质中的电荷体密度为 ?媒质内、外表面上的电荷面密度分别为
?KU0?1?1?er?Jr?R1???R2(R1?K)?(R1?K)R1
ln??R(R?K)?12??KU0?1?2??er?Jr?R2????R(R?K)?(R2?K)R2
ln?21??R1(R2?K)?（2）两理想导体球面间的电阻
UR(R?K)1 R?0?ln21I4??0KR1(R2?K)3.29 电导率为?的无界均匀电介质内，有两个半径分别为R1和R2的理想导体小球，两球之间的距离为d(d??R1,d??R2)，试求两小导体球面间的电阻。
解 此题可采用静电比拟的方法求解。假设两小球分别带电荷q和?q，由于两球间的距离d??R1、可近似认为小球上的电荷均匀分布在球面上。d??R2，
由电荷q和?q的电位叠加求出两小球表面的电位差，即可求得两小导体球面间的电容，再由静电比拟求出两小导体球面间的电阻。
设两小球分别带电荷q和?q，由于d??R1、d??R2，可得到两小球表面的电位为
q11(?) 4??R1d?R2q11?2??(?)
4??R2d?R1q4??C?? 所以两小导体球面间的电容为 ?1??21?1?1?1R1R2d?R1d?R2由静电比拟，得到两小导体球面间的电导为
I4??G?? ?1??21?1?1?1R1R2d?R1d?R2111111故两个小导体球面间的电阻为 R??(???)
G4??R1R2d?R1d?R2 由两个半径为r1和r2的圆弧和夹角为?的3.30 在一块厚度d的导电板上，
1?R2(R1?K)?(r?K)2r2 ln??R(R?K)?12??K2U0?1?
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两半径割出的一块扇形体，如题3.30图所示。求：（1）沿厚度方向的电阻；（2）两圆弧面之间的电阻；沿?方向的两电极的电阻。设导电板的电导率为?。
解 （1）设沿厚度方向的两电极的电压为U1，则有
J r2 ? E1?d U1 d? r1 题3.30图
d?U?I1?J1S1?1?(r22?r12)
d2故得到沿厚度方向的电阻为
J1??E1??U1
R1?U12d ?I1??(r22?r12)（2）设内外两圆弧面电极之间的电流为I2，则
IIJ2?2?2S2?rd
E2?r2J2I?2 ???rdI2rln2 ??dr1U2??E2dr?r1故得到两圆弧面之间的电阻为
Ur1 R2?2?ln2
I2??dr1?（3）设沿?方向的两电极的电压为U3，则有 U3??E3rd?
0由于E3与?无关，所以得到
E3?e?U3 ?rJ3??E3?e??U3 ?rr?dU3?dU3r2I3??J3?e?dS??dr?ln
?r?r1Sr231U3? ?I3?dln(r2r1)3.31 圆柱形电容器外导体内半径为b，内导体半径为a。当外加电压U固定时，在b一定的条件下，求使电容器中的最大电场强度取极小值Emin的内导体半径a的值和这个Emin的值。
解 设内导体单位长度带电荷为?l，由高斯定理可求得圆柱形电容器中的电场强度为
故得到沿?方向的电阻为 R3?E(r)?b?l 2??0rb由内外导体间的电压 U??Edr??a?l?bdr?lln 2??0r2??0aa