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Bn?2qln?x0n?y01sinh()sin()
sinh(n?ab)n??0bb故 ?1(x,y)?1n?sinh[(a?x0)] ???0n?1nsinh(n?ab)bn?y0n?xn?y?sin()sinh()sin()bbb2ql?
(0?x?x0)
?2(x,y)?n?x01sinh() ???0n?1nsinh(n?ab)bn?y0n?n?y?sin()sinh[(a?x)]sin()bbb2ql?
(x0?x?a)
若以y?y0为界将场空间分割为0?y?y0和y0?y?b两个区域，则可类似地得到
2ql?1n??1(x,y)?sinh[(b?y0)] ???0n?1nsinh(n?ba)an?x0n?yn?x?sin()sinh()sin()
aaa(0?y?y0)
2ql?n?y01?2(x,y)?sinh() ???0n?1nsinh(n?ba)an?x0n?n?x?sin()sinh[(b?y)]sin()
aaa(y0?y?b)
4.8 如题4.8图所示，在均匀电场E0?exE0中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱，圆柱的半径为a。求导体圆柱外的电位?和电场E以及导体表面的感应电荷密度?。
解 在外电场E0作用下，导体表面产生感应电荷，圆柱外的电位是外电场E0的电位?0与感应电荷的电位?in的叠加。由于导体圆柱为无限长，所以电位与变量z无关。在圆柱面坐标系中，外电场的电位为?0(r,?)??E0x?C??E0rcos??C（常数C的值由参考点确定），而感应电荷的电位?in(r,?)应与?0(r,?)一样按cos?变化，而且在无限远处为0。由于导体是等
?(r,?)满足的边界条件为 位体，所以
?(a?,?)C ① y ?(r,?)??Es?Cr(?? )② 0rco?由
此
可
设
E0 由条件①，有
a A1?a2E0 于是得到 o x
故圆柱外的电位为
?(r,?)?(?r?a2r?1)E0cos??C
题4.8图
若选择导体圆柱表面为电位参考点，即
?1?(r,?)??E0rcos??Arcos??C 1?1?E0acos??Aacos??C?C 1
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?(a,?)?0，则C?0。
导体圆柱外的电场则为
22??1??aaE????(r,?)??er?e???er(1?)E0cos??e?(?1?)E0sin?
?rr??r2r2??(r,?)E0co?s 导体圆柱表面的电荷面密度为 ????0r?a?2?0?r4.9 在介电常数为?的无限大的介质中，沿z轴方向开一个半径为a的圆柱
形空腔。沿x轴方向外加一均匀电场E0?exE0，求空腔内和空腔外的电位函数。
解 在电场E0的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场E为外加电场E0与极化电荷的电场Ep的叠加。外电场的电位为
?0(r,?)??E0x??E0rcos?而感应电荷的电位?in(r,?)应与?0(r,?)一样按cos?变化，则空腔内、外的电位分别为?1(r,?)和?2(r,?)的边界条件为
① r??时，?2(r,?)??E0rcos?； ② r?0时，?1(r,?)为有限值；
????③ r?a时， ?1(a,?)??2(a,?)，?01??2
?r?r由条件①和②，可设
?1(r,?)??E0rcos??Ar1cos? (r?a)
?2(r,?)??E0rcos??A2r?1cos? (r?a)
?1?2?Aa??E??A???E??aA2 带入条件③，有 Aa，1200010???0???02A??EA??aE0 由此解得 10， 2???0???02??(r,?)??Ercos? (r?a) 所以1???00y 0 b o U0 x
0 ?U0 题4.10图
?2(r,?)??[1????0a2()]E0rcos? (r?a) ???0r4.10 一个半径为b、无限长的薄导体圆柱面被分割成四个四分之一圆柱面，如题4.10图所示。第二象限和第四象限的四分之一圆柱面接地，第一象限和第三象限分别保持电位U0和?U0。求圆柱面内部的电位函数。
解 由题意可知，圆柱面内部的电位函数满足边界条件为
① ?(0,?)为有限值；
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?2????；
????3?23?2???2?由条件①可知，圆柱面内部的电位函数的通解为
?U0?0?② ?(b,?)????U0??0?0????2?(r,?)??rn(Ansinn??Bncosn?) (r?b)
n?1代入条件②，有 由此得到
2??b(Ann?1?nsin??Bncno?s??)b?( ,)?203?21An?nb???(b,?)sinn?d??b?[?Un01sinn?d??0U??0sinn?d?]??2U0,U0?n(1?cosn?)?n?b?bnn???0，n?1,3,5,?n?2,4,6,?3?2
1Bn?nb?2???(b,?)cosn?d??b?[?Un01?20cosn?d??0U??0cosn?d?]?
n?1,3,5,?n?2,4,6,?n?3?2U0U0,n?3n??(?1)2n(sin?sin)?n?b?bnn?22?0，?
n?31rn?)?()[sn?i?n?2(1)?n c o s ] (r?b) 故 ?(r,??n?1,3?,5n,b4.11 如题4.11图所示，一无限长介质圆柱的半径为a、介电常数为?，在距离轴线r0(r0?a)处，有一与圆柱平行的线电荷ql，计算空间各部分的电位。
解 在线电荷ql作用下，介质圆柱产生极化，介质圆柱内外的电位?(r,?)均
,)的叠加，即,)与极化电荷的电位?p(r?为线电荷ql的电位?l(r?2U0??(r?,?)?lr(?,??)pr?(,。ql线电荷的电位为
qq?l(r,?)??llnR??llnr2?r02?2rr0cos? （1）
2??02??0而极化电荷的电位?p(r,?)满足拉普拉斯方程，且是?y 的偶函数。介质圆柱内外的电位?1(r,?)和?2(r,?)满足
a ? o ?0 ql r0 x
题4.11图
的边界条件为分别为
,为有限值；) ① ?1(0???(,?)r?(? )② ?2(r,?)lr????③ r?a时，?1??2,?1??02
?r?r由条件①和②可知，?1(r,?)和?2(r,?)的通解为
??1(r,?)??l(r,?)??Anrncosn?n?1 (0?r?a)
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（2）
?2(r,?)??l(r,?)??Bnr?ncosn? (a?r??)
n?1?（3）
将式（1）～（3）带入条件③，可得到
???Aann?1ncosn???Bna?ncosn?
n?1（4）
?ql?lnRn?1?n?1(A?na?B?na)cosn??(???)?nn00r?a
2??0?rn?1（5）
?1rnlnR?lr?n(?) n co s r?r 当?00时，将lnR展开为级数，有
n?1nr0（6）
?(???0)ql?an?1n?1?n?1()cosn? 带入式（5），得 ?(An?na?Bn?0na)cosn????2??0r0n?1r0n?1（7）
n?n由式（4）和（7），有 Ana?Bna
An?nan?1?Bn?0na?n?1??(???0)qlan?1()
2??0r0r0ql(???0)1ql(???0)a2n 由此解得 An??， Bn??2??0(???0)nrn02??0(???0)nr0n故得到圆柱内、外的电位分别为
ql(???0)?1rn?1(r,?)??lnr?r?2rr0cos???()cosn?
2??02??0(???0)n?1nr0（8）
qlql(???0)?1a2n22?2(r,?)??lnr?r0?2rr0cos??()cosn? ?2??02??0(???0)n?1nr0r（9）
220ql讨论：利用式（6），可将式（8）和（9）中得第二项分别写成为
ql(???0)?1rnql(???0)?()cosn??(lnR?lnr0) ?2??0(???0)n?1nr02??0(???0)ql(???0)?1a2nql(???0)?()cosn??(lnR??lnr) ?2??0(???0)n?1nr0r2??0(???0)其中R??r2?(a2r0)2?2r(a2r0)cos?。因此可将?1(r,?)和?2(r,?)分别写成为
?1(r,?)??2?0qlq(???0)lnR?llnr0
2??0???02??0(???0)1
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1?(???0)ql1(???0)qllnR??lnr
2??02??0???02??0???02?0ql的电 由所得结果可知，介质圆柱内的电位与位于（r0,0）的线电荷
???0位相同，而介质圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于（r0,0）
?2(r,?)??qllnR????0???0a2
?qql。 的线电荷ql；位于(,0)的线电荷l；位于r?0的线电荷???0???0r0
4.12 将上题的介质圆柱改为导体圆柱，重新计算。 解 导体圆柱内的电位为常数，导体圆柱外的电位?(r,?)均为线电荷ql的电位?l(r,?)与感应电荷的电位?in(r,?)的叠加，即?(r,?)??l(r,?)??in(r,?)。线电荷ql的电位为
qq?l(r,?)??llnR??llnr2?r02?2rr0cos? （1）
2??02??0而感应电荷的电位?in(r,?)满足拉普拉斯方程，且是?的偶函数。
?(r,?)满足的边界条件为
?)??lr(?,(r)??)； ① ?(r,?)?C。 ② ?(a,由于电位分布是?的偶函数，并由条件①可知，?(r,?)的通解为
?(r,?)??l(r,?)??Anr?ncosn? （2）
n?0?将式（1）和（2）带入条件②，可得到
?ql?nAacosn??C?lna2?r02?2ar0cos? （3） ?n2??0n?0将lna2?r02?2ar0cos?展开为级数，有
1alna?r?2ar0cos??lnr0??()ncosn?
n?1nr0（4）
220?带入式（3），得
?Anacosn??C??nn?0?1a[lnr0??()ncosn?] （5） 2??0n?1nr0ql?a2nlnr0， An??() 由此可得 A0?C?2??02??0nr0ql故导体圆柱外的电为
ql?(r,?)??ql2??0lnr2?r02?2rr0cos??
ql1a2n(C?lnr0)?()cosn? （6） ?2??02??0n?1nr0rql?讨论：利用式（4），可将式（6）中的第二项写成为