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解 以细导线圆环所在的球面r?a把场区分为两部分，分别写出两个场域的通解，并利用?函数将细导线圆环上的线电荷Q表示成球面r?a上的电荷面密度
QQz ????(cos??cos)??(cos?) 222?a22?a再根据边界条件确定系数。
设球面r?a内、外的电位分别为?1(r,?)和?2(r,?)，则边界条件为： a o y ?1(0,?)为有限值； ① ?2(r,?)?0(r??) ② x ?1(a,?)??2(a,?)， ③
题 4.20图
??1??2Q?)??(cos?) ?r?rr?a2?a2根据条件①和②，可得?1(r,?)和?2(r,?)的通解为
?0(?1(r,?)??AnrnPn(cos?)
n?0?（1）
?2(r,?)??Bnr?n?1Pn(cos?)
n?0?（2）
代入条件③，有
Anan?Bna?n?1
（3）
?Qn?1?n?2[Ana?B(n?1)a]P(cos?)??(cos?) （4） ?nnn22??an?00将式（4）两端同乘以Pm(cos?)sin?，并从0到?对?进行积分，得
Annan?1(2n?1)Q?(cos?)Pn(cos?)sin?d?? ?Bn(n?1)a?2?4??0a0(2n?1)QPn(0) （5）
4??0a2?n?2?n?1,3,?5,?0??? 其中 Pn(0)?n(?1)n21?3?5(?1)n?2,4?,6,?2?4?6?n?QQanP(0，)Bn?Pn(0) 由式（3）和（5），解得 An?n?1n4??0a4??0代入式（1）和（2），即得到 24?Q?1?r?3?r??1??1???P2(cos?)???P4(cos?)??? (r?a)
4??0a?8?a???2?a??
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4?1?a?2?3?a??2??1???P2(cos?)???P4(cos?)??? (r?a)
4??0r?8?r???2?r??4.21 一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移到无穷远处，需要作多少功？
解 利用镜像法求解。当点电荷q移动到距离导体平面为x的点P处时，其像电荷q???q，
q 与导体平面相距为x???x，如题4.21图所示。q? o 像电荷q?在点P处产生的电场为 ?x x x ? qxE?(x)?ex 4??0(2x)2所以将点电荷q移到无穷远处时，电场所作的功
题 4.21图 为
QWe??qE?(x)?dr??d??d?q2q2dx? ? 24??0(2x)16??0dq2 外力所作的功为 Wo??We?16??0d4.22 如题4.22图所示，一个点电荷q放在60?的接地导体角域内的点(1,1,0)处。求： （1）所有镜像电荷的位置和大小；（2）点x?2,y?1处的电位。
解 （1）这是一个多重镜像的问题，共有5个像电荷，分布在以点电荷q到角域顶点的距离为半径的圆周上，并且关于导体平面对称，其电荷量的大小等于q，且正负电荷交错分布，其大小和位置分别为
???2cos75??0.366y ?x1???q,? q1 ???2sin75?1.366??y1? q1???x?2cos165??1.366?2q (2,1,0) ?q2?q, ??(1, 1,0) ??2sin165?0.366??y2? q260? ???x?2co1s95??1.366 ?3x ?q??q,? q3 ?3?o ??2sin?195??0.366?y3 ?q5 ?? ??2cos285??0.366q4x?4 ??q,q4 ?? 题 4.22图 ??2sin285??1.366??y4???2co3s1?5?1?x5???q,?q5 ???315??1?y5?2sin（2）点x?2,y?1处电位
?q4???q2?q3?q51?qq1?(2,1,0)?????? ???
4??0?RR1R2R3R4R5?0.321q(1?0.597?0.292?0.275?0.348?0.477)?q?2.88?109q(V)
4??04??0
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4.23 一个电荷量为q、质量为m的小带电体，放置在无限大导体平面下方，与平面相距为h。求q的值以使带电体上受到的静电力恰与重力相平衡（设m?2?10?3kg，h?0.02m）。
解 将小带电体视为点电荷q，导体平面上的感应电荷对q的静电力等于镜像电荷q?对q的作用力。根据镜像法可知，镜像电荷为q???q，位于导体平面
2q 上方为h处，则小带电体q受到的静电力为 fe??4??0(2h2)2q?mg 令fe的大小与重力mg相等，即 24??0(2h)z q z q R1 z q?q?? ?0 h o ? ? h o ? h 图 2.13q ? P R? ?0 h ? R2 0 o P 题 4.24图（a）
题 4.24图（b）
题 4.24图（c）
?8?5.?910 C于是得到 q?4h??0mg4.24 如题4.24（a）图所示，在z?0的下半空间是介电常数为?的介质，上半空间为空气，距离介质平面距为h处有一点电荷q，求：（1）z?0和z?0的两个半空间内的电位；（2）介质表面上的极化电荷密度，并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷q?。
解 （1）在点电荷q的电场作用下，介质分界面上出现极化电荷，利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷。根据镜像法可知，镜像电荷分布为（如题4.24图（b）、（c）所示）
???0q???q，位于 z??h
???0???0q???q， 位于 z?h
???0上半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q?共同产生，即
?qq????0q?11???1??????
4??0R14??0R?4??0?r2?(z?h)2???0r2?(z?h)2???下半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q??共同产生，即
q?q??q1?2??
4??R22?(???0)r2?(z?h)2（2）由于分界面上无自由电荷分布，故极化电荷面密度为
(???0)hq?????p?n??P1?P2?z?0??0(E1z?E2z)z?0??0(2?1)z?0??
?z?z2?(???0)(r2?h2)32极化电荷总电量为
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?(???0)q(???0)hqr??q? qP???PdS???P2?rdr??dr?2232????0???00(r?h)S04.25 一个半径为R的导体球带有电荷量为Q，在球体外距离球心为D处有一个点电荷q。（1）求点电荷q与导体球之间的静电力；（2）证明：当q与Q同
QRD3R??号，且成立时，F表现为吸引力。 q(D2?R2)2D解 （1）导体球上除带有电荷量Q之外，点电荷q还要在导体球上感应出等量异号的两种不同电荷。根据镜像法，像电荷q?和q??的大小和位置分别为（如
题4.25图所示）
D 2RRd? q???q， d?? Q?q?? Dz o D q? q RR q????q??q， d???0
D导体球自身所带的电荷Q则与位于球心的点电荷Q 题 4.25图
等效。故点电荷q受到的静电力为
qq?q(D?q??)?? F?Fq??q?Fq???q?FQ?q?4??0(D?d?)24??0D2???q?Q?(RD)qRq???? 224??0?D2D?D??RD???????（2）当q与Q同号，且F表现为吸引力，即F?0时，则应有
Q?(RD)qRq??0 222DDD??RD???QRD3R?2? 由此可得出 22q(D?R)D4.26 两个点电荷Q和?Q，在一个半径为a的导体球直径的延长线上，分别位于导体球的两侧且距球心为D。
2a3Q （1）证明：镜像电荷构成一个电偶极子，位于球心，电偶极矩为p?；2DQ（2）令D和Q分别趋于无穷，同时保持2不变，计算球外的电场。
D解 （1）点电荷Q和?Q都要在球面上引起等量异号的感应电荷，可分别按照点电荷与不接地导体球面的镜像确定其等效的像电荷。根据镜像法，点电荷Q的像电荷为
2aa???Q， 位于：d1??q1 Dz Daz????q1??Q，位于：d1???0 D Q q1DR1 而点电荷?Q的像电荷为 P ??R12?q1d1 aa ??Q， 位于：d2q2r??? a ? DDo ?R2 d2? ?q2 R2 有 ?D ?Q 题4.26图
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a???0 Q，位于：d2D??和q2??等值异号，且同时位于球心，故球如题4.26图所示。由此可见，像电荷q1?和q2?也等值异号，且位置关于球心对称，故心处总的像电荷为零；而像电荷q1构成位于球心的电偶极子，其电偶极矩为
a2a22a3Q?(2d1?)?Q? p?q2?2DDD?和q2?共同产生，即 （2）球外的电位由Q和?Q以及像电荷q1?q?q2QQ?(r,?)??1－??
?4??0R14??0R1?4??0R24??0R2????q2???q2Q?1aD??? ?222224??0?r?D2?2rDcos?r?(aD)?(2raD)cos???1aD?? 2? 22222r?D?2rDco?sr?a(D?)ra(2D?)?cos?Q当D和Q分别趋于无穷，同时保持2不变时，有
DQ?D2aD??(r,?)??? ?22224??0D2?r2?D2?2rDcos?r?(aD)?(2raD)cos??
QD2r?D?2rDco?s22?aD2r?2(a2D?)(2r2a???? D?)?cos????ra2??aD?D1?cos??1?cos???????4??0D2?DrrD???????ra2???aD?D?1?cos???1?cos?????
DrrD??????p4??0arcos??3p4??0r2cos?
球外的电场为
??1??p2a3a3E??????(er?e?)?[?er(1?3)cos??e?(1?3)E0sin?]? 3?rr??4??0arrppez?(er2cos??e?sin?) 334??0a4??0r4.27 一根与地面平行架设的圆截面导线，半径为a，悬挂高度为h。证明：
单位长度上圆柱导线与地面间的电容为2??0C0?。 a cosh?1(ha)ql 解 地面的影响可用一个像圆柱来等效。设导线单 h 位长度带电荷为ql，则像圆柱单位长度带电荷为?ql。D 根据电轴法，电荷ql和?ql可用位于电轴上的线电荷来 h ?ql d a 题 4.27图
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等效替代，如题4.27图所示。等效线电荷对导体轴线的偏移为
D?h?h2?a2
d?h?h2?a2
则导线与地间的电位差为
qlql11qlh2?a2?(h?a)??ln?ln?ln?222??0a?d2??0D?a2??0h?a?(h?a)qh2?a2?hhln?lcosh?1() 2??0a2??0a故单位长度上圆柱导线与地面间的电容为
q2??0C0?l?
?cosh?1(ha)4.28在上题中设导线与地面间的电压为U0。证明：地面对导线单位长度的作用
ql2?12212。 ??cosh(ha)(h?a)????0U0212 解 导线单位长度上的电场能量为 We?C0U0?2cosh?1(ha)由虚位移法，得到地面对导线单位长度的作用力为
??0U02?We??0U02?F0?[]?2U??12212 ??cosh(ha)(h?a)?h0?hcosh?1(ha)??
力F0???0U02