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(15)（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为f(x)?2sinxcosx?cos(2x??6)
?sin2x?(cos2xcos??sin2xsin)
66?33?sin2x?cos2x 22?3sin(2x?)， 6所以f(x)?3sin(2x???6). ????5分 所以函数f(x)的最小正周期为?． ????7分 （Ⅱ）由2kp-ppp≤2x-≤2kp+(k Z)得， 262ppkp-≤x≤kp+(k Z). 63 又因为x?[0, ?]， 所以函数f(x)在[0,p]上的递增区间为[0, ?5?]和[, ?]．????13分 36(16)（本小题满分13分） 解：（1）记―取出1个红球2个黑球‖为事件A，根据题意有 414413P(A)?C3()?()2?； 77343144答：取出1个红球2个黑球的概率是. ????4分 343（2）①方法一：记“在前2次都取出红球”为事件B，“第3次取出黑球”为事件C，则 43?213?2?44P(BC)354P(B)??，P(BC)??，所以P(C|B)???. 17?6?5357?67P(B)57方法二：P(C|B)?n(BC)3?2?44??. n(B)3?2?554. ????7分 5答：在前2次都取出红球的条件下，第3次取出黑球的概率是②随机变量X的所有取值为0, 1, 2, 3.
33213C4?A3C4C3?A3418，， P(X?0)??P(X?1)??33A735A735 第 16 页 共 16 页
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12333C4C3?A3C3?A3121，. P(X?2)??P(X?3)??33A735A735
所以EX?0? X P 0 4 351 18 352 12 353 1 35418121459?1??2??3???. ????13分 35353535357S (17)（本小题满分14分） 解法一： 证明：（Ⅰ）连接OE，由条件可得SA∥OE. E 因为SA?平面BDE，OEì平面BDE， 所以SA∥平面BDE. ????4分 （Ⅱ）由已知可得，SB?SD,O是BD中点， 所以BD^SO， A D O B C 又因为四边形ABCD是正方形，所以BD^AC. 因为AC?SO?O，所以BD?面SAC. 又因为BD?面BDE，所以平面BDE?平面SAC. ????8分 （Ⅲ）解：连接OE，由（Ⅱ）知BD?面SAC. 而OE?面SAC, 所以BD?OE. 又BD?AC. 所以?EOC是二面角E?BD?C的平面角，即?EOC?45?. 设四棱锥S?ABCD的底面边长为2， 在?SAC中，SA?SC?2, AC?22, 所以SO?又因为OC?2, 1AC?2, SO?OC, 2z S 所以?SOC是等腰直角三角形. 由?EOC?45?可知，点E是SC的中点. ????14分 解法二：（Ⅰ）同解法一 ????4分 D （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知SO?面ABCD，AC?BD.
E C O 第 17 页 共 17 页 x A B y 百度热心网友 收集整理 欢迎使用
建立如图所示的空间直角坐标系. 设四棱锥S?ABCD的底面边长为2， 则O(0, 0, 0)，S(0, 0, 2)，A??2, 0, 0，B0, 2, 0，C?2, 0, 0，
?????D0, ?2, 0.
????????所以AC??22, 0, 0，BD?0, ?22, 0.
?????设CE?a（0?a?2），由已知可求得?ECO?45?. ????2222所以E(?2?a, 0, a)，BE?(?2?a, ?2, a). 2222设平面BDE法向量为n?(x, y, z)， ?????y?0, ?n?BD?0,??则???? 即? ?22a)x?2y?az?0.??(?2??n?BE?0?22令z?1，得n?(????易知BD?0, ?22, 0是平面SAC的法向量. a, 0, 1). 2?a??????a, 0, 1)?(0, ?22, 0)?0， 因为n?BD?(2?a????所以n?BD，所以平面BDE?平面SAC. ????8分 （Ⅲ）解：设CE?a（0?a?2），由（Ⅱ）可知， 平面BDE法向量为n?(a, 0, 1). 2?a因为SO?底面ABCD， 所以OS?(0, 0, 2)是平面SAC的一个法向量. 由已知二面角E?BD?C的大小为45?. ????????2所以cos?OS, n??cos45??，
2所以2(a2)?1?22?a?2，解得a?1. 2 第 18 页 共 18 页
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所以点E是SC的中点. ????14分 (18)（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域是(??, 0)?(0, ??)．
22a2(e?ax)??. xeex2当a?0时，由f?(x)??0，解得x?0；
x2(e?ax)e?0，解得0?x?； 当a?0时，由f?(x)?exa2(e?ax)e?0，解得x?0，或x?． 当a?0时，由f?(x)?aexf?(x)?所以当a?0时，函数f(x)的递增区间是(0, ??)； 当a?0时，函数f(x)的递增区间是(0, )； 当a?0时，函数f(x)的递增区间是(??, )，(0, ??)． ????8分 （Ⅱ）因为f?(x)?eaea222(e?x)??， xeex所以以P1(x1,f(x1))为切点的切线的斜率为2(e?x1)； ex1以P2(x2,f(x2))为切点的切线的斜率为又因为切线过点P(0, t)， 所以t?lnx1?22(e?x2)． ex22x12(e?x1)?(0?x1)； eex1t?lnx22?22x22(e?x2)?(0?x2). eex2t?2解得，x1?e ，x2?e2t?2. 则x1?x2. 22由已知x11x2
所以，x1+x2=0． ???????????13分
(19)（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设动点M的坐标为(x,y)，
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22由题意得，(x?1)?y?|x?1|，
化简得y?4x，
所以点M的轨迹C的方程为y?4x．??4分
（Ⅱ）设A,B两点坐标分别为(x1, y1)，(x2,y2)，则点P的坐标为(由题意可设直线l1的方程为y?k(x?1) (k?0)， 22x1?x2y1?y2,)． 22?y2?4x, 2222由?得kx?(2k?4)x?k?0. ?y?k(x?1),D=(2k2+4)2-4k4=16k2+16>0. 因为直线l1与曲线C于A,B两点，所以x1?x2?2?所以点P的坐标为(1?44y?y?k(x?x?2)?，． 1212k2k22, ). 2kk12由题知，直线l2的斜率为?，同理可得点Q的坐标为(1?2k,?2k). k22当k??1时，有1?2?1?2k，此时直线PQ的斜率k2?2kkk. kPQ??221?2?1?2k21?kkk(x?1?2k2)， 所以，直线PQ的方程为y?2k?21?k整理得yk?(x?3)k?y?0. 于是，直线PQ恒过定点E(3, 0)； 当k??1时，直线PQ的方程为x?3，也过点E(3, 0)． 综上所述，直线PQ恒过定点E(3, 0)． ????10分 （Ⅲ）可求的|EF|=2，
所以?FPQ面积S?2121|FE|(?2|k|)?2(?|k|)≥4. 2|k||k|当且仅当k??1时，“?”成立，所以?FPQ面积的最小值为4．????13分
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