1、 火车以不变的速度v向前运动．在其中一节车厢内的光滑桌面上有一轻质弹簧,一端固定在车厢的壁板上,现用手将弹簧压缩一段距离,然后把质量为m的物体与弹簧的自由端靠在一起（不连接）,如图所示．放m手以后,物体受弹力作用在桌面上运动,离开弹簧时（仍在桌面上）对车厢的速度为v．问从放手到物体离开弹簧瞬间,车
'v厢壁板对弹簧的作用力做了多少功？（在地面参照系计算）
解法一：由于壁板对弹簧的作用力不是一个常力,所以直接用作用力乘位移去求解稍有困难．这里在火车参照系中（也是惯性系）对物块的运动应用动能定理来处理． 在火车参照系中,物体与弹簧未分离前,是一个弹簧振子系统．弹性力做功等于振子动能的增量
1'2mv,弹性力做功又等于弹性势能的减少量,即??Ep（?Ep为增量）,所以有关系21'2mv???Ep 2在地面参照系中再次利用动能定理．壁板作用力对弹簧系统做的功W加上弹性力做的功（??Ep）等于物体动能的增量,即W??Ep?所以,壁板作用力做功为 W?2211111m?v'?v??mv2??Ep?m?v'?v??mv2?mv'2?mv'v 22222211m?v'?v??mv2 22解法二：在车厢参照系应用动量定理．在弹力作用在物体上的同时,也对壁板有相同大小的作用力（因弹簧质量不计）,设这个力在整个作用过程中的平均值为F,作用全过程所用的时间为t．根据动量定理,作用在物体上的冲量等于物体动能的增量,即
F?t?mv'
这个力F也是壁板对弹簧的平均作用力．方程两边均乘车子速度v,得到 Fvt?mvv 而左式 Fvt?F?x?W
正好等于地面参照系中壁板对弹簧做的功,为壁板对弹簧作用点在地面参照系中的位移．最后得 W?mvv
2、如图所示,木板A原来静止在光滑的水平面上,其中放一块木块B．现用一足够大的水平
力作用于A,使系统向右运动．运动过程中B与A始终有相对滑动．当木板A向右移动SA?1.0m时,木块B对地的位移
''SBBBFAFASB?0.75m．已知B的质量mB?1.0kg,B与A之间的滑动
2摩擦系数??0.4,取g?10ms．试分别以地面和木板A为
SA参照系计算A和B之间的摩擦力对A、B以及A和B这个系统做的功．
解：设A和B之间的摩擦力大小为f．
在地面参照系中,摩擦力对A做的功为WA??fSA???mBgSA??4J 摩擦力对B做的功为WB?fSB??mBgSB?3J 摩擦力对A、B做的总功为W?WA?WB??1J
在木板A参照系中,A静止,摩擦力对A做功为零．即WA'?0．
B的位移为SA?SB?0.25m,摩擦力对B做功为WB'??f?SA?SB???1J．
所以A参照系中,摩擦力对系统的总功为W'?WB'??1J
3、如图所示,在一个与地面夹角为?,以恒定速度v0向下运动的传送带上放一个质量为m的砖,砖被一根上端固定的绳拉着,不能和传送带一起向下运动,问自从把绳剪断后经过多长时间,砖获得传送带的速度？在此过程中,作用在转上的摩擦力做了多少功？已知砖与传送带的动摩擦因数是?．
解：由动力学方程可得砖获得的加速度为
v0?a?g(sin???cos?)
故砖获得速度v0所需的时间为t?v0
g(sin???cos?)2v0在此时间内,砖相对于传送带所通过的距离为l?
2g(sin???cos?)摩擦力做正功,其值为W?fL??mglcos??12?mv0? 2??tan?4、如图所示,长为l的轻质细杆上端A固定一个重球,直立于粗糙硬地上,由静止开始倒落,试
求小球与地面相碰时的速度．
解 倒落过程分两个阶段,以N?0时分界：设?位置时,N?0,则有
?mv2mgcos????l ??1mv2?mgl(1?cos?)??2解之 v??vvAvxvy?N0mg22gl ,且cos??
33此后,杆离地,小球作斜抛运动：
vx?vcos??22gl 33222A碰地时 vA l vA?2gl ?vx?vy?2g5、 如图所示,一人手持质量为m的小球乘坐在热气球下的吊篮里．气球、吊篮和人的总 质量为M．整个系统静止在空中．突然人将小球急速上抛,经过时间t后小球又返回人 手．设人手在抛接球时相对吊篮的位置不变．试求人
y在抛球过程中对系统做了多少功．
解：设人将小球急速上抛,小球刚抛出的向上的速度为v,与此同时M向下的速度为V,则人在抛球过程中对系统做的功为
121mv?MV2 （1） 22人将小球急速抛出以后,依动量守恒,v和V满足
mv?MV （2）
A?以抛出点为坐标原点,取向上为坐标轴y的正向．在此坐标下,M的初速为?V,受到合力mg,加速度为
mMO1mg,运动方程为 M YM??Vt?1?1?2mg??t （3） 2?M?12gt （4） 2在同样的坐标下,m的初速为v,受力为?mg,加速度为?g,运动方程为 Ym?vt?在t时刻,若YM?Ym?0,就是小球返回人手的位置．所以 v? V?1gt （5） 21?m?2?M? ?gt （6）
?2其中t是题中所给的时间．代入方程（1）,得到人对系统做的功
1?1?1?1?m A?m?gt??M??2?2?2?2?M2m(M?m)22?? gt?gt （7）??8M??6、 跳水运动员从高于水面H?10m的跳台落下,加入运动员质量为m?60kg,其体型可等效为长度L?1.0m,直径d?0.30m的圆柱体,不计空气阻力．运
动员入水后,水的等效阻力F作用于圆柱体的下端面,F的数值随入水深度y变化的函数图像如图所示,该曲线可近似的看做为椭圆的一部分,该椭圆的长短轴分别与坐标轴Oy和OF重合．椭圆与y轴
F5mg2O（a）
hy
相交于y?h,与F轴相交于F??52?mg处．为了确保运动员的安全,试计算水的深度至少应为多深？（水的密度??1.0?103kgm）
解：设运动员起跳时为初状态,入水以后到达最深处时为末状态．初、末状态动能都为零,整个过程中有三个力做功,重力做功为WG,水的浮力做功为Wf,水的阻力做功为WF,由动能定理可知
WG?Wf?WF?0 （1） 设水深为h,则
WG?mg?H?h? （2） 运动员从B运动到C时,水的浮力均匀增大,做的功为
311?d? Wf???L???gL????L2d2g （3）
128?2?从C到D,浮力做的功为
2AHB水面 ? Wf2????Ld?h214?L g （4）
ChD水的阻力做的功为图（b）中曲线下的面积
h?L池底 5 WF???mgh???mgh （5）
428将（2）、（3）、（4）、（5）式代入（1）式,可解得
?5（b）
mH??18???L2d2 h??4.9?m? 258?m?14??Ld?m????7、一质量为M的平顶小车,以速度v0沿水平方向的光滑轨道做匀速直线运动,现将一质量为
m的小物块无初速的放置在车顶前缘．已知物块与车顶之间的滑动摩擦因数为?．
1）若要求物块不会从车顶后缘掉下,则该车顶至少要多长？
2）若车顶长度符合1）问中的要求,整个过程中摩擦力共做了多少功？
解：1）物块放到小车上以后,由于摩擦力的作用,当以地面为参照系时,物块将从静止开始加速运动,而小车将做减速运动．令表示此时的速度v,在这个过程中,若以物块和小车位系统,因为水平方向未受外力,所以此方向上动量守恒,即
Mv ?M? v （1）0??m根据质点动能定理,在上述过程中,物块动能的增量等于摩擦力对物块所做的功,即
12mv??mgs1 （2） 2式中s1为物块移动的距离．同时,小车动能的增量等于摩擦力对小车所做的功,即
112Mv2?Mv0???mgs2 （3） 22
式中s2为小车移动的距离．用l表示车顶的最小长度,则
l?s2?s1 （4） （1）--（4）式联立求解,得
2Mv0 l? （5）
2?g?m?M? 2）由功能关系可知,摩擦力所做的功等于系统动能的增量,即 A?（1）、（6）式联立求解,得
2mMv0 A?? （7）
2?m?M?1122m?Mv?Mv0 （6） ??228、一质量为m的小球,在固定的光滑半球面上的任一点P点由静止开始释放,滚至Q点时沿切向脱离球面,已知P点对应的高度为hP,Q点对应高度为hQ,如图所示,试证明：hP?hQ?1hP 3证明 小球只受重力和支持力的作用,只有重力做功,支持力不做功,故在P?Q过程中机械能守恒
1mghP?mghQ?mv2 （1）
2mv2?mgcos? （2） 在Q点脱离球面市,由质点动力学方程得 R由图示 hQ?Rcos? （3） 由（1）－（3）得 hP?hQ?1hP 39、有一根很轻的弹簧,上端固定,在它的下端挂上一个质量为m1?0.01kg的小球时,弹簧伸长
0.004m,这时小球在O1点．在小球下再加一个质量为m2?0.05kg的物体,则小球下降到O2点,如图所示,今将m2取走,小球就上下振动,球小球通过O1点时的速度,（g?10ms） 解：弹簧的劲度系数K?2O1m1m1g0.01?10??25(Nm) l10.004m1m2O2