设O1O2?l2,则l2?m2g0.05?10??0.02?m? K25取走m2后小球做简谐振动,机械能守恒．设m1在O2处的重力势能为零,则有
112222?K?l?l?l?mv?m1gl2 ??1211?22?v2?222?K?l?l?l??1??12m1?2gl225(0.0242?0.0042)??2?10?0.02
0.01?1?m2s2??v?1ms
10、 水平桌面上有一光滑小孔,一根长为2l、质量为2m的均匀柔绳穿过小孔,绳的一半伸长置于桌面上,另一半穿过小孔下垂,并保持静止．然后释放,让绳经小孔下垂运动．设绳与桌面间的摩擦系数为?．求绳尾到桌上小孔时,绳的速度大小．
解：若初始释放后,绳能经小孔下垂运动,必须满足mg??mg即??1．
柔绳系统在运动过程中,除重力做功Ag外,还有桌面摩擦力做功Af．求出Ag和Af后,可利用功能定律得到柔绳的速度v．
重力做功可利用柔绳质心下降距离表示,
13?h?l?l?l44 3Ag?mg??h?mgl4摩擦力做负功,摩擦力在柔绳运动过程中,随着桌面上绳长的减小而减小．设单位柔绳质量为
?,??m．当柔绳向下位移为x时,尚在桌面上的绳长为l?x,质量为???l?x?,水平桌面l作用在柔绳上的摩擦力的大小为f????l?x?g．
可见f随x增大（即绳在桌上部分减小）而线性减小；当x?0时,f?0???mg；当x?l时,f?l??0．所以从x?0到x?l过程中摩擦力做功为Af?动能定理告之, Ag?Af???即
1?mgl． 2?12 ?mv?2m?v2??2??31mgl??mgl?mv2 42
解得绳的速度为 v??1?31????gl?2?42??3?2??gl 11、 一个人站在水平地面上,手握细绳一端,另一端拴一石块,并使其以手为中心在竖直面内
作圆周运动．问：当石块在什么位置时,地面对人的弹力最小？设
v0绳长为l．
解：设石块在最高点的速率为v0,为完成竖直面内的圆周运动,v0必须满足关系
2v0?g, 即 v0? ll?TmgvOg l
（1）
在此条件下,石块在竖直面内作圆周运动过程中,通过绳中张力与人
手相互作用．当张力作用在竖直向上方向的分力最大时,地面对人的弹力最小．设此时绳与竖直方向的夹角为?,如图所示,石块速度为v,绳中张力为T．写出石块运动满足的能量关系和法向动力学方程：
1212mv?mv0?mgl?1?cos?? （2） 22v2 T?mgcos??m （3）
l联立（2）和（3）,写出绳中张力在竖直向上方向的分量（此分力即为绳作用在人手上作用力在竖直向上分力的大小）：
T??Tcos??v2???m?mgcos??cos??l?2?mv0??2mgl(1?cos?)???mgcos??cos?l??2?mv0???3mgcos????2mg?cos??l?222??v0?v01??32???3mg?cos???????mg???6gl343gl3??????22 （4）
由此可得 1）
22v0v011若??1,即v0?2gl,T?达最大,?满足cos??? 6gl36gl3若结合（1）,v0应有如下关系 gl?v0?2gl
2v012)若??1,即v0?2gl,T?达最大,?满足 cos??1,??0
6gl3
当T?达最大时,也就是地面对人的弹力最小．
12、质量分别是m1和m2的两物块用橡皮绳相连放在水平台面上,橡皮绳原长为a,当它伸长时,如同一弹性系数为k的弹簧．物块与台面间的摩擦系数为?．今将两物块拉开至相距b(b?a)静止释放,如图所
m1m2示．求两物块相碰时的相对速度大小． x1x2解：在台面参照系中,由于系统的机械能和动量均不守恒,
无法应用守恒定律；由于系统动量不守恒,两物位移无确定关系,摩擦力做功不易求得,无法应用动能定理；由于系统自释放开始至相碰为止的时间无法确定,无法应用动量定理．思考之下,在台面参照系中,只能对两物分别应用牛顿定律进行讨论．
如图中所示坐标．设m1、m2的坐标分别为x1、x2,则它们的牛顿方程分别为：
m1a1?k(x2?x1?a)??m1g （1） m2a2??k(x2?x1?a)??m2g （2） 以上方程,由于弹性绳只在拉伸时有弹力,则上式中的k有条件
x2?x1?a?0,有k?0 （3）
oxx2?x1?a?0,有k?0 （4）
用m1同乘（2）式两边,用m2同乘（1）式两边,新得得两式再相减,得
m1m2?a2?a1???k?m1?m2?(x2?x1?a)?2?m1m2g （5） 令y?x2?x1,则ay?a2?a1,y为两物相对距离,y为相对加速度．又令?m?合质量,改写式（5）
ay??m1m2为折
m1?m2k?my?k?m a?2?g （6）
注意这里
?m为折合质量,?为摩擦系数．设两物的速度分别为v1和v2,相对速度为
vy?v2?v1,相对加速度为
?vy?y?vy1??vy? ay? （7） ???vy??t?y?t?y2?y?vy2代入式（6）整理得 ??kka?12? vy???y?y??y?2?g?y （8）
?m?m?2?
两边分别对整个运动过程求和,并注意到式（4）,即y?a时,k?0．得到
1?12??v????y??m?2?vy?0??1vr?ky?y???k?y?2?g??yy?bamy?by?baaa0?12?a????2ky??my?b???m???ky??2?g??yy?by?ba0
解得
vr2?k?m?b2?a2??2ka?m?b?a??4?gb?k?m?b?a?2?4?gb
这里的vr为所求两物相碰时的相对速度,vr为 vr?v1?v2?v1?v2?k?m1?m2?(b?a)2?4?gb （9）
m1m2M13、如图所示,质量为M的滑块可以在光滑水平导轨上无摩擦滑动,长为l的轻绳一端系于滑块M上,另一端系一质量为m的小球．今将轻绳沿水平拉直,使小球与滑块等高,并同时释放．试问,当轻绳与水平导轨夹角为?时绳中张力T为多大？
解：因系统在运动过程中不受水平方向外力作用,所以水平方向系统动量守恒．设小球在图中坐标下的水平方向分速度为vx,滑块在导轨上的速度大小为u,依水平方向动量守恒有关系式
?lxym mvx?Mu （1） 又因为系统是一个保守系统（只有保守力做功）,所以系统机械能守恒,有关系式 mglsin??112m?vx?vy2??Mu2 （2） 22再在滑块参照系中,vx、vy、u、?有约束关系式： tan??vx?u （3） vy若把?作为参量,则式（1）--（3）联立,可解出vx、vy、u：
2M2glsin3? v? （4） 2?M?m??mcos??M?2x u? vy??mvx （5） M?M?m? cot??vx （6）
?M?
再利用滑块参照系,求绳中张力． 设小球相对于滑块的速度为v,其大小为
'?M?m?2?M?m?22?M?m?glsin?2 v'2??vx?u??vy （7） ??cot??vx??vx??2mcos??M?M??M?222设滑块在绳子张力的水平作用下的加速度为a,显然,滑块在导轨参照系中的动力学方程为
Tcos??Ma （8）
在滑块参照系（非惯性系）中,小球的法向动力学方程为
mv'2 T?macos??mgsin?? （9）
l联立方程（7）--（9）,消去a和v,最后解得绳中张力为 T?mMgsin?23M?m?2?co?s?'?M?mcos??22
14、如图(a)所示,长为的轻绳两端各系一质量为m的小球,中央系一质量为M的小球,三球均
静止于光滑水平面上,绳处于拉直状态．今给小球M一冲击,
?使其获一水平垂直于绳的初速度v,试求当两端小球碰撞前
瞬间绳内的张力． m解：设两球相碰前瞬间,小球M和m相对于桌面的加 速度大小分别为aM和am,则有
vM(a)
m 2T?MaM(?V方向) （1） T?mam(?V方向) （2）
相对于小球M,小球m作圆周运动,在碰撞前瞬间,小球m相对于M的向心加速度为
2vxb(?V方向),其中vx为碰撞前小球在绳垂直方向的分速度,因此有
2 am?vxb?aM （3）
??（1）、（2）、（3）三式联立解得 T?M2mv?xM?2m?b （4）
M设vy为碰撞前的瞬间小球M的速度,由于绳子的长度保持不变,小球m沿绳方向的分速度为vy,如图（b）所示．由机械能守恒和动量守恒定律,有
vy111122222MV2?Mvy?m?vx?vy?m?vx?vy ?? （5）2222mTTmvxvx(b)