并跟m2随在同一地点脱轨,问第一个物体m1应从多高处开始运动？（摩擦不计） 解：设碰后小球在最低点的速率为v,运动到C点时的速率为vc,则
11mgh0?mvc2?mv222
vc2mgcos??mR而两球碰撞前后满足
m1v0?m2v?m1v 1两式相比得
m1m2?13 对m1球,利用机械能守恒定律得
1122mv?m2v?m1v22221012m1v0 2h?R另 cos??0
R m1gH?由此可解得 H?2(3h0?R)
21、质量分别为m1和m2的两个小球,系在长为l的不可伸长的轻绳两端,放置在光滑水平桌面上．初始时绳是拉直的,在桌面上另有一质量为m3的光滑小球,以垂直于绳的速度u与小球
m1对心碰撞,若恢复系数为e,求碰后瞬时绳中的张力．如图（a）所示．
m2lm1m2lu1m1u'm3um3
(a)
'(b)
解：设m3与m1碰后沿垂直于绳的速度分别为u和u1,如图（b）所示．由于绳方向对m1的冲量并不影响垂直于绳方向的动量,所以写出动量守恒方程和碰撞定律方程：
m3u?m3u'?m1u1eu?u1?u'
联立并消去u,解得
'
u1?m3?1?e?u
m1?m3在m3与m1碰后,考察m1和m2系统,此系统既不平动,又不转动．为求绳中张力,在质心系中讨论时一种好的选择．
质心沿垂直于绳方向的速度大小为 uc?m1u1?m2u2m1?u1
m1?m2m1?m2此处已利用u2?0,小球m1离质心的距离为 l1?因此,绳的张力T满足关系式
m2l
m1?m22?u1?uc?T?m1m2l?m1?m2?m1?m1?m2??m2 ????m31?eu??? ???m2l?m1?m2??m?1m3?m1m2m2322?1?eu??2l?m1?m2??m1?m?32222、在足够长的平直轨道上有两个小球1和2,轨道右端有一堵与轨道垂直的竖直墙,墙面与小球轨道垂直．如图所示,设1和2两球质量分别为m1和m2,初始时球2处于静止,球1以速度v朝球2运动,并相碰．试问两球之间能且仅能发生两次碰撞时,两球质量比m2m1的取值范围．假设球与球之间、球与墙之间的碰撞均是弹性碰撞,且球与轨道间摩擦力可略．
解：取轨道向右为x轴正向．设碰前两球的速度为v1、v2,碰后速度为
',利用动量守恒和机械能守恒,得到碰后两小球的速度表达式 v1'、v21v2 v1='?m1?m2?v1?2m2v2 （1）
m1?m2 v2='?m2?m1?v2?2m1v1 （2）
m1?m2因v1?v,v2?0,即v1?v2,两小球一定发生第一次碰撞．碰后两小球的速度由（1）和（2）得到
v1'=m1?m2 v （3）
m1?m22m1 v （4）
m1?m2'v2='若轨道右端没有墙,两球将不再发生碰撞．现在球2与墙相碰,速度变为?v2,两球将有可能发
生第2次碰撞．
发生第2次碰撞的条件为
'' v1 ??v2代入式（3）和（4）,解得
m2 ?3 （5）
m1'第2次碰前两小球速度分别为v1'和?v2,代入式（1）和（2）,得到第2次碰后的两球速度
m1?m2??4m1m2?''v （6） v1? 2?m1?m2?v?''224m1?m1?m2??m1?m2?2v （7）
''若v2?0,则球1和球2向左一前一后不再发生第3次碰撞．此种情况,两球不发生第3次碰
撞的条件为
m2?m1
m2?m1 （8） 若v2''''
?0,则球2将与墙碰,碰后球2的速度为?v2．为了使两球不发生第3次碰撞应有条件
''''', 即 v1v1''??v2?v2'?0
代入式（6）和（7）,得
?m1?m2??4m1m2?4m1?m1?m2??0
22整理得 5m1?10m1m2?m2?0
2即 ?m2?5?20m1??m2?5?20m1??0
????????解得 5?20?m2?5?20 （9） m1
综合式（5）、（8）、（9）,两球间能且仅能发生两次碰撞的条件为 5?25?m2?3 m123、有三个质量相等的粒子,粒子1和粒子2中间夹置一个被充分压缩了的轻质短弹簧,并用轻质细线缚在一起（可视为一个小物体）,静止地放置在光滑水平面上．另一个粒子3沿该光滑水平面射向它们．粒子3和粒子1相碰撞并粘在一起运动．后轻质细线自动崩断,使弹簧释放,3个粒子分成两部分：一部分为粒子2,另一部分为粘在一起的粒子1、3．已知弹簧被充分压缩时的弹性势能是Ep,为了使被释放出的粒子2的散射角（此处散射角是指粒子2射出后的运动方向与粒子3入射时的运动方向之间的夹角）保持在30之内,求粒子3入射时的动能应满足什么条件．
0???解 建立如图（a）所示的坐标系,以粒子3入射速度v0为x轴方向．设每个粒子的质量为m,
当粒子3与1相碰并粘在一起,而在细线断开之前,三个粒子是一起运动的,若其共同速度为
?v,按照这三个粒子组成的系统的动量守恒定律,有
???? mv0?3mv （1）
即也沿x方向,其大小为v?v0． 3?v2v2细线断开后弹簧释放,弹性力做功使弹性势能Ep转 化为粒子1、3和粒子2的动能增量．设粒子1、3最后的
0?v1?v?????速度为v1,粒子2最后的速度为v2,由机械守恒和动量守
恒定律可知
v1（a）
v0x111 ?2m?v12?mv22??3m?v2?EP （2）
222????????? ?2m?v1?mv2??3m?v?mv0 （3）
??????因弹簧安置的方向不同等原因,粒子2将可能以不同的速度向各方向飞出,设v2与v0 的夹
角为?,在细线崩断过程中,粒子2和粒子1、3由于受到弹力的冲量作用,都将产生相应的动
?????量的增量,从而有速度的增量,设其速度增量分别为?v1和?v2,则有
???????v1?v??v1 ????? （4）?????v2?v??v2或者写成分量式为 ??v1x?vx??v1x?v2x?vx??v2x 与??v1y?vy??v1y?v2y?vy??v2y
????????将（4）代入（3）式,得 ?2m?v??v1?mv??v2??3m?v
?????????即 ?2m??v1?m?v2?0
1??v??v2x????1???1x2因而 ?v1???v2 或 ? （5）
21??v??v1y2y??2（2）式也可写成如下的形式：
111 ?2m?v12x?v12y?mv22x?v22y??3m??vx2?vy2??EP （6）
222????将（4）、（5）代入（6）并化简,得
221?22???2mv??v?v??v?mv??v?v??v???????????x1xy1yx2xy2y??2?????
131222222??3m??vx?vy?m?v2??v?3mv?v????xy??EPx2y242??33222m?v2??v?m?v （7） ??2x2y44??????（7）式表明,在EP给定的条件下,?v2的大小是一定的,v2 的v?v从上式可得到 EP???22???大小和方向与?v2的方向有关,即与弹簧安置的方向有关,如图（b）????所示．若v和v2的大小一定,即图中圆的半径和P点到圆心的距离
P?vO（b）
?????????一定,当v2与?v2垂直时,?角最大,这时v2的方向沿圆的切线方
???向,所以在弹簧各种可能的安置方向中,以图4?7所示的沿?v2的方向安置时,粒子2具有
最大散射角,要求粒子2的散射角?保持在30以内,则必须要求
0???v???v???0?v2?vsin30 ,即 ?v2?或?v2?0 （8）
263?v?111将（8）式代入（7）式,得 EP?m?0???mv02?EK
4?6?24224由上式可以看出：为了使被释放出的粒子2的散射角保持在30之内,粒子3入射时的动能为EK?24EP．
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