MV?(M?2m)vy （6）
MV2解（5）和（6）式,得 v?
M?2m2x代入（4）式得 T?M2mV2?M?2m?2b
15、如图（a）所示,在盛有水的圆柱形容器内竖直地浮着一块圆柱形木块,木块体积为V,高为h,其密度为水密度的一半,横截面积也为容器截面积的一半,水面高为2h,用一细棒把木块缓慢的压制容器底部,求木棒的压力做了多少功？
9h4(a) (b)
解：显然木棒给木块的压力为变力,直接用功的计算公式是难于求出该力做功的．我们可以分析一下此题的特点,不难发现缓慢下压的过程,说明了木块的动能不变．因此,压力的功实际上是使物体的势能和水的势能发生变化,我们求出势能的变化就可以求压力做的功．
注意到木块经过了两个过程：一是下压到水面相平的过程；二是下压至容器底部的过程．水面高度的变化和木块实际下降的距离是处理问题的关键． 第一个过程中,水面上升水增加的势能为
Ep1?木块减少的势能为
Ep2?此过程中压力所做的功为
hh,木块实际下降也为 44V3h?g 44?2Vgh 4V3h?h1?g?Vg??Vgh 4424165h5h第二个过程中,木块继续下降的距离为,其所占那部分水的重心上升也为,如图（b）所
44 W1?示．
此过程中压力做功为
W2?V?g所以,整个过程中压力做功为 W?5h?5h5?Vg??Vgh 4248V gh1511?Vgh??Vg?h?16816
16、如图所示,质量为M的长滑块静止在光滑水平面上,左侧固定一劲度系数为k且足够长的水平轻质弹簧,右侧用一不可伸长的细轻绳连接于竖直墙上,细绳所能承受的最大拉力为T,使一质量为m、初速度为v0的小物体,在滑块上无摩擦的向左滑动,而后压缩弹簧． 1）给出细绳被拉断的条件． 2）滑块在细绳拉断以后被加速的过程中,所能获得的最大向左的加速度为多大？ 3）物体最后离开滑块时,相对地面速度恰好为零的条件是什么？ 解：1）设细绳刚被拉断时,弹簧的压缩量为x0,此时有 kx0?T 为使弹簧压缩量达到,对小物块要求是
kv0mM1212mv0?kx0 22由此得到细绳被拉断的条件 v0?T2） 绳断时,小物体速度为v1,则有
mk 121212mv0?mv1?kx0 22220T2解得 v1?v?
mk而后M在弹力作用下由静止开始加速,直至与m达到共同速度,此时弹簧压缩量x最大,则由能量、动量守恒关系
mv1??M?m?v2 1112 2mv??M?m?v2?kx22220 解得 kx?m2kMv0?T2? ?M?m故此刻M加速度最大为 a?kx1?MMm2kMv0?T2? ?M?m3） 当m离开M时速度为零,即弹簧恢复原长时刻m速度为零,而M速度向左为vM,有
1122MvM?mv0 2 2MvM?mv1
解得 v1?212M2v0 m20T2又有 v?v?
mk代入后即得
??v0?T?m?M?k ?
m?M??此即题所求条件．
17、一固定的斜面,倾角??45,斜面长L?2.00m．在斜面下端有一与斜面垂直的挡板．一质量为m的质点,从斜面的最高点沿斜面下滑,初速度为零．质点沿
斜面下滑到斜面最低端与挡板发生弹性碰撞,如图所示．已知质点与斜面间的滑动摩擦因数??0.20．试求此质点从开始运动到与挡板发生第11次碰撞的过程中运动的总路程．
解: 质点在沿斜面滑动的过程中,受到的摩擦力f的大小为 0mLmg??f??mgcos?
若质点从斜面最高点第一次到达斜面最低端时的速度为v1,则有
1mv12?mgLsin???mgLcos? (1) 2质点与斜面挡板发生弹性碰撞后,以速度v1开始沿斜面上滑．若上滑的最大路程为L1,则
12mvcos??1??mg1L2由（1）、（2）两式得
mgsi?n （2） 1L mgLsin???mgLcos???mgL1cos??mgL1sin?
L1sin???cos?? Lsin???cos?令上式等号右边的数值等于a,并以??45,??0.20代入,则得
0L1?aL,a?1?0.202? （3）
1?0.2032按同样的推理可知质点在第2次碰撞以后上滑的距离为L2?aL1?aL 依此类推,可知在第10次碰撞以后上滑的距离为L10??a10L 第1次碰撞前质点运动的路程为S1?L
第2次碰撞前质点运动的总路程为S2?L?2L1?L?2aL
依此类推,可知在第11次碰撞前,即从开始到发生第11次碰撞期间,质点运动的总路程为
S10?L?2aL?2a2L??2a10L （4）
上式等号右边的数值,可根据数学上等比级数求和的公式算出,即
?a10?1? S10?L?1?2a?? （5）
a?1??故S10?9.86m．
18、两个钢球,质量密度相同,下面一个得半径为2a,上面一个的半径为a,由一水平巨形钢板
平面上高h处（按大球的球心测量）下落．如图示．假定两球球心
a始终在一竖直线上,而且所有的碰撞均是弹性的．求两球下落并与钢板碰后,上面那个球将达到的最大高度（球心与钢板平台）是多少？
2a解：设上面小球的质量为m1,下面小球的质量为m2,显然,m2?8m1．当两球下落、大球落地时的共同速度为 v2?h2g?h?2a? 大球同地面作弹性碰撞,弹起向上的速度仍为v2,接着大球与向下的小球作弹性碰撞,此时,小球向下的速度为
v1?v2
'设大小两球碰后的速度分别为v2和v1',向上取为正方向．写出两球弹性碰撞的方程
联立解得
'm2v2?m1v1?m2v2?m1v1'v2?v1?v?v'1'2
55'v2?v2?2g?h?2a?99 2323v1'?v2?2g?h?2a?99利用机械能守恒可以求出小球能达到的最大高度（由地面算起到小球球心）：
v1'2529 H?3a??3a??h?2a?
2g81
19、 如图（a）所示,一截面为等腰直角三角形的棱柱ABC,被约束在一光滑轨道上,AB边只能沿DE光滑轨道运动．现有一质量与棱柱ABC质量m相同的光滑小球,在与ABC同一水平面内沿垂直于轨道DE的方向,以速度v0与处于静止的ABC发生弹性碰撞．求碰后它们各自的速度．
Dv?AAv0C450v0NB450B(a) VE(b)
解：分别以小球和棱柱ABC作为研究对象,并设碰后小球的速度为v,方向与轨道方向夹?角,棱柱的速度为V,方向沿轨道,如图（b）所示．
小球与棱柱系统沿轨道方面动量守恒、机械能守恒,有
mvcos??mV （1）
121212mv0?mv?V （2） 222以上两个方程中,有三个未知量：v、V和?．还需一个方程．
以小球为对象,它与棱柱ABC碰撞中,受到垂直于AC面的水平力N作用．由动量定理得
N?t?mv?mv0 此矢量式在AC方向上的分量式为
00 0?mvcos45???mv0cos45
??即
v?cos??sin???v0 （3）
联立方程（1）、（2）、（3）,解得
tan??1 （4） 2v?V?5 v0 （5）
32v0 （6） 320、如图所示,质量为m1的物体沿光滑斜槽向下滑动,斜槽过渡时半径为R的圆周,在最低点与质量为m2的静止物体发生弹性碰撞,假定碰撞后m2脱离圆周轨道时的高度为h0,而m1沿斜槽上升之后又下滑,
Cm1A?h0OHm2B