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E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).
因为FA=FE, ∠AEF = 45°, 所以∠AFE= 90°.
1122?????????11???所以EF?(0,?,),BE?(0,?1,1),BC?(1,0,0).
22????????????????11EF?BE?0???0,EF?BC?0.
22从而，F(0,?,).
所以EF⊥BE, EF⊥BC.
因为BE?平面BCE,BC∩BE=B ,
所以EF⊥平面BCE.
(Ⅱ)存在点M,当M为AE中点时,PM∥平面BCE.
11 ), P ( 1, ,0 ). 22?????11 从而PM=(?1,?,),
22?????????1111于是PM·EF=(?1,?,)·(0,?,?)=0
2222 M ( 0,0,
所以PM⊥FE,又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，
故PMM∥平面BCE. ????????????8分
????(Ⅲ)设平面BDF的一个法向量为n1，并设n1=（x,y,z）. uuuvBD?（，1?1，0） ，
uvuuuv??n1gBD?0v?uvuuu 即
??n1gBF?0uuuv31 BF?（0，?，）22?x?y?0??31 ?y?z?0??22???n（11，，3）取y=1，则x=1，z=3。从而1?。 ???（0，0，1）取平面ABD的一个法向量为n2?。
uvuuvuuvuuvn1gn23311。 cos(n1,n2)?uv?uuv?1111g1n1n2故二面角F—BD—A的大小为arccos14.（本题满分14分）
如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1?BC?AB?2,
311。??????????????12分 11AB?BC,求二面角B1?AC1?C1的大小。
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简答：
? 3
2005—2008年高考题
解答题
1. （2008全国Ⅱ19）（本小题满分12分）
D1 C1 B1 如图，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1?2AB?4，点E在CC1上A1 且C1E?3EC．
?平面BED； （Ⅰ）证明：AC1E
D A B C
（Ⅱ）求二面角A1?DE?B的大小．
以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，
2，，0)C(0，2，，0)E(0，2，1)，A1(2，0，4)． 建立如图所示直角坐标系D?xyz．依题设，B(2，????????DE?(0，2，1)，DB?(2，2，0)，
z D1 A1 C1 B1 ?????????AC?(?2，2，?4)，DA1?(2，0，4)． 1????????????????DB?0，ACDE?0， （Ⅰ）证明 因为AC1?1?E D x A B C y ?BD，AC?DE． 故AC11又DB?DE?D，
?平面DBE． 所以AC1（Ⅱ）解 设向量n?(x，y，z)是平面DA1E的法向量，则
?????????n?DE，n?DA1．
故2y?z?0，2x?4z?0．
令y?1，则z??2，x?4，n?(41，，?2)．
????n，A1C等于二面角A1?DE?B的平面角，
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cosn,A1C?n?A1CnA1C?14． 4214． 42所以二面角A1?DE?B的大小为arccos2. （2008安徽）如图，在四棱锥O?ABCD中，底面ABCD四边长 为1的菱形，?ABC??4, OA?底面ABCD, OA?2,M为
OOA的中点，N为BC的中点
（Ⅰ）证明：直线MN‖平面OCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小； （Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。
作AP?CD于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为 x,y,z轴建立坐标系
MABNCDA(0,0,0),B(1,0,0),P(0,22222,0),D(?,,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(1?,,0), 22244?????????????22222,,?1)O,P?(0,?,O2D),??(,?(1)证明 MN?(1? 44222????????OP?0,n?OD?0 设平面OCD的法向量为n?(x,y,z),则n?,2)?2y?2z?0??2即 ?
??2x?2y?2z?0??22取z?2,解得n?(0,4,2)
zOM?????22∵MN?n?(1?,,?1)?(0,4,2)?0
44AxBNCPDy?MN‖平面OCD
?????????22,,?1) (2)解 设AB与MD所成的角为?,∵AB?(1,0,0),MD?(?22?????????AB?MD?1? ∴co?s????,?? , AB与MD所成角的大小为. ???????∴33AB?MD2(3)解 设点B到平面OCD的距离为d，
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????则d为OB在向量n?(0,4,2)上的投影的绝对值,
????OB?n2????2 由 OB?(1,0,?2), 得d??.所以点B到平面OCD的距离为
3n33. （2008湖南17 ）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面
ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD 的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.
如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的 坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），
33133C(,,0),D(,,0),P（0，0，2）,E(1,,0). 22222（Ⅰ）证明 因为BE?(0,3,0)， 2平面PAB的一个法向量是n0?(0,1,0)， 所以BE和n0共线.从而BE⊥平面PAB. 又因为BE?平面PBE， 故平面PBE⊥平面PAB.
????????????????133，0），,0) (Ⅱ)解 易知PB?(1,0,?2),BE?(0, PA?(0,0,?2),AD?(,222?????????n1?PB?0, 设n1?(x1,y1,z1)是平面PBE的一个法向量，则由??????得 ???n1?BE?0?x1?0?y1?2z1?0,???所以y1?0,x1?2z1.故可取n1?(2,0,1). ?3y2?0?z2?0.?0?x1??2????????????n2?PA?0, 设n2?(x2,y2,z2)是平面PAD的一个法向量，则由???得???????n2?AD?0?0?x2?0?y2?2z2?0,????所以z2?0,x2??3y2.故可取n2?(3,?1,0). ?13y2?0?z2?0.?x2??22
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??????????n?n22315于是，cos?n1,n2????1???. ??55?2n1?n2 故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是arccos15. 54. （2008福建18）如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面 ABCD，侧棱PA=PD＝2，底面ABCD为直角梯形， 其中BC∥ AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小；
（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为32？若存在，求出
AQ 的QD值；若不存在，请说明理由.
（Ⅰ）证明 在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD,
又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD?平面ABCD=AD, PO?平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD.
????????????OD、OP的方向分别为x轴、y轴、 (Ⅱ)解 以O为坐标原点，OC、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得 A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1), ????????＝（?11，，0），PB＝（，1?1，?1）. 所以CD所以异面直线PB与CD所成的角是arccos
6， 33， 2(Ⅲ)解 假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为????????由(Ⅱ)知CP?(?1,0,1),CD?(?1,1,0).
设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).
?????CP?0,??x0?z0?0,?n?则????所以即x0?y0?z0， ??CD?0,??x0?y0?0,??n?取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).
????设Q(0,y,0)(?1?y?1),CQ?(?1,y,0),由
解y=-
??????CQ?nn?1?y33，得??, 22315或y=(舍去)， 22状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料，更多资料请到状元源下载。